Question

К экзамену по математике составлены 15 задач, среди которых 5 задач повышенной сложности. В билет случайным образом попали три задачи. Какова вероятность того, что хотя бы одна задача будет повышенной сложности

Answer 1

Вероятность того, что задача одна:

$\frac{C_5^1*C_{10}^2}{C_{15}^3} = \frac{5*10!*12!*3!}{15!*8!*2!} = \frac{5*9*10*3}{13*14*15} = \frac{45}{13*7} = \frac{45}{91}$

вероятность того, что 2 задачи

$\frac{C_5^2*C_{10}^1}{C_{15}^3} = \frac{2*5*10*12!*3!}{15!} = \frac{100*2*3}{13*14*15} = \frac{20}{13*7} = \frac{20}{91}$

вероятность того, что 3 задачи:

$\frac{C_5^3}{C_{15}^3} = \frac{2*5*12!*3!}{15!} = \frac{10*2*3}{13*14*15} = \frac{2}{13*7} = \frac{2}{91}$

Итого, вероятность того, что будет не меньше одной задачи:

$\frac{45+20+2}{91} = \frac{67}{91}$≈0,7363 или 73,63%

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом комбинаторики и правилом сложения вероятностей.

Всего есть 15 задач, из которых 5 являются повышенной сложности, а 10 - обычной сложности.

Сначала рассмотрим вероятность того, что ни одна из выбранных задач не будет повышенной сложности. Это означает, что все три выбранные задачи должны быть обычной сложности. Вероятность выбрать обычную задачу на первый билет составляет 10/15, на второй билет - 9/14 (поскольку одна обычная задача уже выбрана), а на третий билет - 8/13. Используя правило произведения вероятностей для независимых событий, получаем:

P(все обычные задачи) = (10/15) * (9/14) * (8/13) ≈ 0.184

Теперь можем найти вероятность того, что хотя бы одна задача будет повышенной сложности. Для этого вычтем из единицы вероятность того, что ни одна задача не будет повышенной сложности:

P(хотя бы одна повышенной сложности) = 1 - P(все обычные задачи) = 1 - 0.184 ≈ 0.816

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна задача будет повышенной сложности, составляет около 0.816 или 81.6%.