Question

Найти площадь фигуры y=x^2+2x, y=x+2

Answer 1

$S_{D}=\iint\limits_{D}dxdy=\int\limits_{-2}^1dx\int\limits_{x^2+2x}^{x+2}dy=\int\limits_{-2}^1(y)|^{x+2}_{x^2+2x}dx=\\=\int\limits_{-2}^1(x+2-(x^2+2x))dx=\int\limits_{-2}^1(-x^2-x+2)dx=\\=(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x)|^1_{-2}=\\=(-\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2}+2*1)-(-\frac{(-2)^3}{3}-\frac{(-2)^2}{2}+2*(-2))=\\=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4=4.5$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя заданными функциями, нам нужно найти точки пересечения этих функций и вычислить определенный интеграл между ними.

Для начала найдем точки пересечения этих двух функций. Приравняем их и решим уравнение:

x^2 + 2x = x + 2

Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение:

x^2 + x - 2 = 0

Факторизуем его:

(x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = -2 и x = 1.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, интегрируя разность функций между этими точками:

Площадь = ∫[от -2 до 1] (x+2 - (x^2+2x)) dx

= ∫[от -2 до 1] (2 - x^2) dx

= [2x - (x^3/3)] [от -2 до 1]

Подставим пределы интегрирования:

= [2(1) - (1^3/3)] - [2(-2) - ((-2)^3/3)]

= [2 - 1/3] - [-4 + 8/3]

= 2 - 1/3 + 4 - 8/3

= 6 - 1/3 - 8/3

= 18/3 - 1/3 - 8/3

= 9/3 - 1/3 - 8/3

= (9 - 1 - 8) / 3

= 0 / 3

= 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной функциями y = x^2 + 2x и y = x + 2, равна 0.