Question

Помогите решить пожалуйста В школе есть комната и в ней 100 лампочек. Каждая лампочка пронумерована ( 1,2,3...). В один день ученики решили сыграть в игру. Первый ученик вошёл и передвинул Переключатель лампочек с номерами которые делятся на 1 ( Имеется ввиду, если они горели то он их потушил если они не горели то он их включил). Второй ученик Сделал тоже самое лампочками с номерами которые делятся на 2. Третий ученик, лампочками с номерами которые делятся на 3. Так сделали все 100 учеников. Лампочки с какими номерами уже горели когда вошёл сотый ученик?

Answer 1

Не совсем понятна концовка условия. Будем считать, что 100 ученик вошел и включил, а теперь нужно найти ответ.

Не горят лампочки с четным количеством делителей. Это все, кроме полных квадратов, так как каждому делителю x числа y можно дать неравный делитель-пару z = y/x. Тогда это числа:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Answer 2

Для решения данной задачи нужно определить, при каких номерах лампочек происходит переключение в конечном итоге.

Когда первый ученик проходит, он меняет состояние всех лампочек, так как все они делятся на 1. В результате все лампочки становятся выключенными.

Когда второй ученик проходит, он меняет состояние лампочек с номерами, делящимися на 2. То есть он включает все лампочки, у которых номера делятся на 2. В данном случае это лампочки с четными номерами.

Когда третий ученик проходит, он меняет состояние лампочек с номерами, делящимися на 3. Если лампочка с номером делится на 2 и 3, то она будет переключена дважды: первый раз во время прохода второго ученика и второй раз во время прохода третьего ученика. Это происходит для лампочек с номерами, которые являются кратными 6.

В общем случае, когда i-ый ученик проходит, он меняет состояние лампочек с номерами, делящимися на i. Таким образом, лампочки будут переключены тогда и только тогда, когда они имеют нечетное число делителей (так как переключение меняет состояние лампочки). Например, у числа 12 есть делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Из них только 1, 3 и 12 являются нечетными, поэтому только эти лампочки горят после прохождения двенадцатого ученика.

Таким образом, лампочки, которые горят после прохождения ста учеников, имеют номера, которые имеют нечетное число делителей. Такие номера являются квадратами целых чисел. В данном случае, это лампочки с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100.