Question

Доведіть що трикутник АВС прямокутний якщо точка А(-3;2;1) B(1;1;2) C(7;20;-3)

Answer 1

AB=√(1-(-3)²+(1-2)²+(2-1)²=√(16+1+1)=√18
AC=√(7-(-3))²+(20-2)²+(-3-1)²=√(100+324+16)=√440
BC=√((7-1)²+(20-1)²+(-3-2)²=√(36+361+25)=√422
Наибольшая сторона АС.Используем т.Пифагора и проверим:
АС²=АВ²+ВС²
АС²=440, АВ²=18, ВС²=422
422+18=440,то есть т.Пифагора выполняется.Значит,ΔАВС-прямоугольный.

Answer 2

Для доведення, що трикутник ABC є прямокутним, ми можемо скористатись властивістю векторного добутку, яка говорить, що якщо векторний добуток двох векторів дорівнює нульовому вектору, то ці вектори є перпендикулярними.

У даному випадку, ми можемо взяти два вектори AB і AC і знайти їх векторний добуток. Якщо отриманий векторний добуток буде дорівнювати нульовому вектору, то це свідчить про те, що вектори AB і AC є перпендикулярними, а тому трикутник ABC є прямокутним.

Вектор AB можна обчислити, віднімаючи координати точки A від координат точки B: AB = B - A = (1 - (-3), 1 - 2, 2 - 1) = (4, -1, 1).

Вектор AC можна обчислити, віднімаючи координати точки A від координат точки C: AC = C - A = (7 - (-3), 20 - 2, -3 - 1) = (10, 18, -4).

Тепер ми знайдемо векторний добуток векторів AB і AC: AB x AC = (4, -1, 1) x (10, 18, -4).

Для обчислення векторного добутку можна використати формулу: AB x AC = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1).

Застосуємо формулу: AB x AC = ((-1)(-4) - 18)(1) - (1)(-4) - (4)(10), (-4)(4) - (1)(10), (4)(18) - (-1)(10)) = (-14, -36, 92).

Отримали вектор (-14, -36, 92). Якщо цей вектор дорівнює нульовому вектору (0, 0, 0), то вектори AB і AC є перпендикулярними і, отже, трикутник ABC є прямокутним.

У даному випадку, (-14, -36, 92) ≠ (0, 0, 0), тому трикутник ABC не є прямокутним.