Question

Вера задумала натуральное число, но потом решила, что оно слишком маленькое, и переставила последнюю цифру числа в начало, в результате чего число увеличилось ровно вдвое. Какое наименьшее число могла задумать Вера?

Answer 1

Ну и задачка)

Число A имеет вид

$x_n10^n+x_{n-1}10^{n-1}+...+x_0$

Число B (число А после перестановки) имеет вид

$x_010^n+x_n10^{n-1}+...+x_1$

2А=B

$2x_n10^n+2x_{n-1}10^{n-1}+...+2x_0=x_010^n+x_n10^{n-1}+...+x_1$

$x_n(2\cdot10^n-10^{n-1})+x_{n-1}(2\cdot 10^{n-1}-10^{n-2})+...+x_1(2\cdot 10^1-1)=x_0(10^n-2)$

$x^n10^{n-1}(20-1)+x_{n-1}10^{n-2}(20-1)+...+x_1(20-1)=x_0(10^n-2)$

$19(x_n10^{n-1}+x_{n-1}10^{n-2}+...+x_1)=x_0(10^n-2)$

Далее анализируем. Выражение справа должно делиться на 19. Но так как 19 - простое число, а все коэффициенты $x_i, 1\leq i\leq n$ являются цифрами, то есть натуральными числами с 1 по 9, то x0 не разделится на 19 никак, а значит, $10^n-2$ делится на 19.

Признак делимости на 19 есть, конечно: число без последней цифры + удвоенная последняя цифра ( их сумма имеется в виду) должна делиться на 19. Можно применять последовательно. Но я как-то не вижу возможности в общем виде это расписать. $n \in \mathbb{N}$, естественно. В общем, мучаясь и страдая, подбором получаем

$n=17$

И поделив на 19 число 99999999999999998, получаем 5263157894736842. Но что это? Если посмотрим на выражение

$x_n10^{n-1}+x_{n-1}10^{n-2}+...+x_1$

то станет ясно, что это записанное число до перестановки без последней цифры

а выражение справа получается

$5263157894736842\cdot x_0$

Теперь надо подобрать натуральное решение этого уравнения.

Анализируем возможные $x_0$

1 быть не может, так как получится это же число, к нему в конец должна добавиться 1 (х0) но там спереди 5, а на будет конце 1, а при переставлении число должно удвоиться, а так как разрядность чисел одинакова, то старший коэффициент должен тоже минимум удвоиться, а здесь такого нет.

А вот что будет при 2:

$5263157894736842\cdot 2=10526315789473684$

Удивительно, но при добавлении 2 в конце, которая потом пойдет вперед число вполне себе удваивается. Проверим

$105263157894736842$

Переставив 2 в начало, получим $210526315789473684$

Ну и поделив второе на первое, получим

$\frac{210526315789473684}{105263157894736842}=2$

Работает. Удивительно, что Вере это число показалось малым))

Ответ: $\boxed{105263157894736842}$

Answer 2

Предположим, что задуманное число Веры состоит из $n$ цифр. Пусть $a$ будет последняя цифра числа Веры, а $b$ будет остальная часть числа (то есть все цифры, кроме последней).

Согласно условию задачи, когда Вера переставила последнюю цифру в начало, число увеличилось вдвое. Это означает, что новое число равно удвоенному значению исходного числа. Математически это можно записать следующим образом:

$10b + a = 2(10^n + b)$

Упростим это уравнение:

$10b + a = 20^n + 2b$

Так как мы ищем наименьшее возможное число, то минимизируем $n$ и максимизируем $b$. Поскольку мы предполагаем, что число Веры слишком маленькое, можно считать, что $n > 1$. При $n = 1$ мы получим числа вида 11, 22, 33 и так далее, что слишком большо для наших условий.

Подставим $n = 2$ в уравнение и продолжим упрощать:

$10b + a = 20^2 + 2b$

$10b + a = 400 + 2b$

$8b = 400 - a$

Поскольку $b$ должно быть целым числом, а $400 - a$ является четным числом (так как $400$ четное), наименьшее возможное значение $b$ будет равно $2$.

Подставим $b = 2$ в уравнение и решим его:

$8 \cdot 2 = 400 - a$

$16 = 400 - a$

$a = 400 - 16$

$a = 384$

Таким образом, наименьшее число, которое могла задумать Вера, равно 384.