Question

на сторонах вс и ад выпуклого четырехугольника авсд соответственно взяты точки м и к так что пары отрезков ам и вк кс и мд имеют общие середины. Докажите, что угол вад равен углу всд

Answer 1

Для доказательства равенства угла VAD и угла VSD в выпуклом четырехугольнике ABCD, где точки M и K являются серединами отрезков AM и VK соответственно, мы можем воспользоваться свойством параллельных линий.

Предположим, что AM и VK - это противоположные стороны четырехугольника ABCD, а их середины обозначены как M и K. Также предположим, что точки S и D находятся на продолжении линии AB за точкой B, а точка C находится на продолжении линии VK за точкой K.

Итак, у нас есть следующая ситуация:

1. AM и VK - это противоположные стороны четырехугольника ABCD. 2. М и К - середины отрезков AM и VK соответственно.

Теперь рассмотрим две пары прямых:

1. AM и VK (данные стороны четырехугольника). 2. МD и SK (поскольку MD и SK соединяют середины соответственных сторон).

Так как MD и SK - это отрезки, соединяющие середины сторон, они параллельны и равны по длине (по свойству серединного перпендикуляра).

Теперь мы можем использовать теорему Талеса. В треугольниках AMD и SKV, где MD и SK - это биссектрисы, у нас есть, что:

\[\frac{AM}{SK} = \frac{MD}{KV}.\]

Но так как MD = SK (по свойству серединного перпендикуляра), мы получаем:

\[\frac{AM}{SK} = \frac{SK}{KV}.\]

Умножим обе стороны на SK:

\[AM = \frac{SK^2}{KV}.\]

Теперь рассмотрим треугольник VSK. Из биссектрисной теоремы у нас есть, что:

\[\frac{SV}{VK} = \frac{MS}{MK}.\]

Так как MS = KV (по свойству серединного перпендикуляра), мы получаем:

\[\frac{SV}{VK} = \frac{KV}{MK}.\]

Умножим обе стороны на VK:

\[SV = \frac{KV^2}{MK}.\]

Таким образом, мы видим, что \(AM = SV\).

Теперь рассмотрим треугольники VSD и VAD. У нас есть, что:

1. \(AM = SV\) (как только мы доказали). 2. \(VK = VK\) (общая сторона). 3. \(SD = SD\) (общая сторона).

Теперь, если два треугольника имеют соответственные стороны равными, то эти треугольники равны (по стороне-угол-стороне).

Таким образом, треугольники VSD и VAD равны, и угол VAD равен углу VSD. Таким образом, угол VAD равен углу VSD.