Question

Геометрия , 7 класс. Помогите , пожалуйста . Задание: докажите , что середины сторон равнобедренного треугольника являются так же вершинами равнобедренного треугольника.

Answer 1

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с вершиной A и равными сторонами AB и AC. Пусть M и N - середины соответственно сторон BC и AC.

1. Докажем, что BM = CM: Поскольку M - середина стороны BC, то BM = MC. Это следует из свойств середины отрезка.

2. Рассмотрим треугольник ANC: В треугольнике ANC стороны AN и AC равны (по определению равнобедренного треугольника). Также у нас есть, что NM - это середина стороны AC. По теореме о половине базы равнобедренного треугольника, высота, опущенная из вершины A на основание NC, также проходит через середину AC. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как K.

3. Докажем, что AM = AK: Поскольку NM - середина AC, то AM = MC = BM (из пункта 1). А по построению высоты AK, треугольник ANC подобен треугольнику ANK, и соответственно, AM пропорционально AK. Таким образом, AM = AK.

4. Теперь рассмотрим треугольник BKA: В этом треугольнике у нас есть равные стороны BA и AK (BA = AM из пункта 3). Также, по построению, BK = KC (так как K - середина AC). Следовательно, треугольник BKA - равнобедренный с равными сторонами BA и BK.

Таким образом, мы доказали, что треугольник BKA - равнобедренный, и его вершины B, K и A совпадают с вершинами равнобедренного треугольника ABC.