Question

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D. Докажите , что если биссектрисы углов ADB и ACB пересекаются на стороне AB, то BD меньше BC.

Answer 1

Давайте обозначим углы:

1. Пусть \(\angle ADB\) - угол между сторонами \(AD\) и \(BD\). 2. Пусть \(\angle ABC\) - угол между сторонами \(AB\) и \(BC\). 3. Пусть \( \angle ABD\) - угол между сторонами \(AB\) и \(BD\). 4. Пусть \( \angle ADC\) - угол между сторонами \(AD\) и \(DC\).

Теперь обратим внимание на биссектрисы. По условию, биссектрисы углов \(\angle ADB\) и \(\angle ACB\) пересекаются на стороне \(AB\). Обозначим точку пересечения биссектрис как \(E\).

Из условия биссектрисы угла \(\angle ADB\) следует, что углы \(\angle ADE\) и \(\angle EDB\) равны между собой. Аналогично, из условия биссектрисы угла \(\angle ACB\) следует, что углы \(\angle AEC\) и \(\angle ECB\) равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник \(ADB\). По теореме о треугольнике, сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому:

\[ \angle ADB + \angle ADE + \angle EDB = 180^\circ. \]

Но мы знаем, что \(\angle ADE = \angle EDB\), следовательно:

\[ \angle ADB + \angle ADE + \angle ADE = 180^\circ. \]

Таким образом,

\[ 2 \cdot \angle ADE = 180^\circ, \]

и, следовательно,

\[ \angle ADE = 90^\circ. \]

Аналогично, рассмотрим треугольник \(ADC\). Из условия биссектрисы следует, что угол \(\angle ADC\) также равен \(90^\circ\).

Теперь вернемся к треугольнику \(ADB\) и рассмотрим угол \(\angle ABD\). Мы знаем, что:

\[ \angle ABD = \angle ADE + \angle EDB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ. \]

Таким образом, угол \(\angle ABD\) - прямой. Это означает, что стороны \(AD\) и \(BD\) лежат на одной прямой.

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Из условия биссектрисы следует, что угол \(\angle ABC\) также равен \(90^\circ\). Таким образом, стороны \(AB\) и \(BC\) также лежат на одной прямой.

Итак, мы видим, что стороны \(AD\), \(BD\), \(AB\), и \(BC\) лежат на одной прямой. Поскольку точка \(D\) находится между \(A\) и \(B\), это означает, что \(BD\) + \(AB\) = \(AD\) + \(DB\).

Но \(AB = AC + CB\), так как точка \(C\) находится между \(A\) и \(B\).

Теперь у нас есть:

\[ BD + AC + CB = AD + DB. \]

Отсюда следует, что:

\[ AC + CB < AD. \]

Таким образом, мы доказали, что если биссектрисы углов \(\angle ADB\) и \(\angle ACB\) пересекаются на стороне \(AB\), то \(BD < BC\).