Question

двокружности радиусов 2 и 8 касаются друг друга внешним образом в точке А общая касательная к ним проведена через точку А пересекает другую общую касательную в точке B Найдите AB

Answer 1

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть две окружности с радиусами 2 и 8, которые касаются друг друга внешним образом в точке A. Проведена общая касательная к обеим окружностям через точку A. Далее, эта касательная пересекает другую общую касательную в точке B.

Итак, у нас есть два треугольника: треугольник AOB (где O - центр большей окружности, A - точка касания), и треугольник AOC (где C - центр меньшей окружности).

Так как касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу в точке касания, угол между радиусом и касательной в точке касания равен 90 градусов.

Таким образом, у нас получается, что угол AOC прямой (90 градусов), а угол AOB также прямой, так как касательная к окружности также перпендикулярна радиусу в точке касания.

Теперь у нас есть два прямых треугольника AOB и AOC. Поскольку угол AOC прямой, у нас есть прямоугольный треугольник AOB, где AO - гипотенуза, AC - одна из катетов (радиус большей окружности), и OB - другой катет (радиус меньшей окружности).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику AOB:

\[AO^2 = AC^2 + OB^2.\]

Радиус большей окружности (AC) равен 8, а радиус меньшей окружности (OB) равен 2:

\[AO^2 = 8^2 + 2^2.\]

\[AO^2 = 64 + 4.\]

\[AO^2 = 68.\]

Теперь у нас есть длина гипотенузы AO. Но нам нужна длина отрезка AB. Так как треугольник AOB прямоугольный, мы можем воспользоваться тем, что AB - это вторая катет треугольника AOB. Таким образом, \(AB = \sqrt{AO^2 - OB^2}\):

\[AB = \sqrt{68 - 4}.\]

\[AB = \sqrt{64}.\]

\[AB = 8.\]

Итак, длина отрезка AB равна 8.