Question

В основание пирамиды лежит треугольник со стороной, равной а, и противолежащим ей углом 135 градусов. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите высоту пирамиды! Помогите пожалуйста!!!

Answer 1

Для решения задачи нам понадобится применить теорему косинусов.

Пусть треугольник, лежащий в основании пирамиды, имеет сторону a. Противолежащий ей угол равен 135 градусам. Обозначим угол между боковым ребром и плоскостью основания как α (равен 60 градусам). Обозначим высоту пирамиды как h.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику, образованному стороной a, боковым ребром и высотой пирамиды:

a^2 = h^2 + (a/2)^2 - 2 * h * (a/2) * cos(α)

Учитывая, что α = 60 градусов, получаем:

a^2 = h^2 + (a/2)^2 - h * a * cos(60)

Далее упрощаем:

a^2 = h^2 + a^2/4 - h * a * 1/2

Умножаем все члены уравнения на 4:

4a^2 = 4h^2 + a^2 - 2h * a

Теперь объединяем подобные члены:

3a^2 = 4h^2 - 2h * a

Выражаем h:

4h^2 - 2h * a - 3a^2 = 0

Данное уравнение является квадратным по h. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-2a)^2 - 4 * 4 * (-3a^2) = 4a^2 + 48a^2 = 52a^2

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два корня, однако в данном случае нас интересует только положительный корень, так как высота не может быть отрицательной.

h = (2a - √52a^2) / (8) = (a - √13a) / (4)

Таким образом, высота пирамиды равна (a - √13a) / 4.