Question

У правильной треугольной пирамиды высота основания равна 12 дм, а угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 60. Найдите полную поверхность пирамиды.

Answer 1

Чтобы найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды, вам нужно учитывать поверхность основания и поверхность боковых граней. Пусть \( a \) - длина стороны основания треугольника, \( h \) - высота пирамиды, а \( l \) - длина боковой грани. В данном случае, угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 60 градусам.

1. Поверхность основания: Площадь основания треугольника можно найти с использованием формулы для площади равностороннего треугольника: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]

2. Поверхность боковых граней: Площадь боковой грани можно найти с использованием формулы: \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot p \] где \( p \) - периметр основания треугольной пирамиды, который равен \( 3 \cdot a \).

3. Полная поверхность пирамиды: Суммируем площадь основания и площадь боковых граней: \[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + 3 \cdot S_{\text{бок}} \]

Теперь подставим известные значения. У вас дано, что высота основания равна 12 дм. Также, так как угол между боковой гранью и основанием равен 60 градусам, треугольник боковой грани - прямоугольный с гипотенузой \( l \) (длина боковой грани), катетом \( h \) (высота пирамиды) и углом 60 градусов.

Таким образом, можно использовать тригонометрические соотношения: \[ \sin 60^\circ = \frac{h}{l} \]

Отсюда можно выразить \( l \): \[ l = \frac{h}{\sin 60^\circ} \]

Теперь подставим известные значения и решим задачу. Все измерения следует проводить в одной системе, например, в дециметрах (дм).