Question

Две окружности радиусов 4 и 8 касаются одной и той же прямой с разных сторон. Расстояние между точками касания равно 5. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Answer 1

Давайте обозначим центры окружностей как \(O_1\) и \(O_2\), их радиусы как \(r_1 = 4\) и \(r_2 = 8\), а точки касания с прямой как \(A\) и \(B\). Также, обозначим расстояние между центрами окружностей как \(d\).

Из условия задачи известно, что расстояние между точками касания равно 5. То есть, \(AB = 5\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный центром окружности \(O_1\), центром окружности \(O_2\), и точкой касания \(A\). Этот треугольник является прямоугольным треугольником, потому что радиус окружности всегда перпендикулярен касательной.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[ OA^2 = r_1^2 - (AB/2)^2 \]

\[ OB^2 = r_2^2 - (AB/2)^2 \]

Также, известно, что расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов и расстояния между точками касания:

\[ d = r_1 + r_2 + AB \]

Теперь мы можем записать уравнение для расстояния между центрами окружностей:

\[ d^2 = (r_1^2 - (AB/2)^2) + (r_2^2 - (AB/2)^2) + 2r_1r_2 \]

Подставим значения и решим уравнение:

\[ d^2 = (4^2 - (5/2)^2) + (8^2 - (5/2)^2) + 2 \cdot 4 \cdot 8 \]

\[ d^2 = (16 - 6.25) + (64 - 6.25) + 64 \]

\[ d^2 = 9.75 + 57.75 + 64 \]

\[ d^2 = 131.5 \]

\[ d = \sqrt{131.5} \approx 11.47 \]

Таким образом, расстояние между центрами окружностей примерно равно 11.47.