Question

основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая 15 см. найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружности

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства равнобедренного треугольника и формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей.

Радиус вписанной окружности

В равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины угла, который не является основанием, является биссектрисой этого угла и медианой, проведенной из основания этого угла. Из этого следует, что биссектриса делит основание на две равные части.

В нашем случае, основание равнобедренного треугольника равно 18 см. Так как треугольник равнобедренный, боковая сторона также равна 15 см. Поэтому, биссектриса будет перпендикулярна основанию и делит его на две равные части. Значит, каждая часть основания будет равна 9 см.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике:

Радиус вписанной окружности = (полупериметр треугольника) / (площадь треугольника)

Для нахождения полупериметра треугольника, мы можем сложить длины всех сторон и разделить полученную сумму на 2:

Полупериметр треугольника = (сторона A + сторона B + сторона C) / 2

В нашем случае, сторона A и сторона B равны 15 см, а сторона C равна 18 см. Подставим эти значения в формулу:

Полупериметр треугольника = (15 + 15 + 18) / 2 = 24 см

Теперь нам нужно найти площадь треугольника. Мы можем использовать формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2

В нашем случае, основание равно 18 см, а высоту треугольника мы можем найти, используя теорему Пифагора. Пусть h - высота треугольника, а a - половина основания. Тогда, по теореме Пифагора:

h^2 = c^2 - a^2

где c - боковая сторона треугольника. Подставим известные значения в формулу:

h^2 = 15^2 - 9^2 h^2 = 225 - 81 h^2 = 144 h = √144 h = 12 см

Теперь, найдем площадь треугольника:

Площадь треугольника = (18 * 12) / 2 = 108 см^2

Теперь, мы можем найти радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности = (24) / (108) = 2/9 см

Радиус описанной окружности

Для нахождения радиуса описанной окружности в равнобедренном треугольнике, мы можем использовать следующую формулу:

Радиус описанной окружности = (боковая сторона) / (2sin(угол между боковой стороной и основанием))

В нашем случае, боковая сторона равна 15 см. Чтобы найти угол между боковой стороной и основанием, мы можем использовать теорему косинусов:

cos(угол между боковой стороной и основанием) = (сторона A^2 + сторона B^2 - сторона C^2) / (2 * сторона A * сторона B)

В нашем случае, сторона A и сторона B равны 15 см, а сторона C равна 18 см. Подставим эти значения в формулу:

cos(угол между боковой стороной и основанием) = (15^2 + 15^2 - 18^2) / (2 * 15 * 15) cos(угол между боковой стороной и основанием) = (225 + 225 - 324) / (450) cos(угол между боковой стороной и основанием) = 126 / 450 cos(угол между боковой стороной и основанием) = 0.28

Используя обратную функцию косинуса, мы можем найти угол между боковой стороной и основанием:

угол между боковой стороной и основанием = arccos(0.28) угол между боковой стороной и основанием ≈ 74.77°

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения радиуса описанной окружности:

Радиус описанной окружности = (15) / (2sin(74.77°))

Для нахождения значения синуса угла, мы можем использовать тригонометрическую таблицу или калькулятор. Подставим это значение в формулу:

Радиус описанной окружности = (15) / (2 * 0.9659) ≈ 7.79 см

Итак, радиус вписанной окружности составляет 2/9 см, а радиус описанной окружности составляет около 7.79 см.