Question

Найдите пример прямоугольного треугольника , есле даны ; 1) Гипотенуза с и острый угол а ; 2) Катет b и прилежащий к нему угол а; 3) Катет а и противолежащий ему угол а .

Answer 1

Конечно, давайте рассмотрим каждый из случаев:

1) Гипотенуза \(c\) и острый угол \(a\): Пусть гипотенуза \(c\) равна 5, а острый угол \(a\) равен 30 градусов. Тогда, используя теорему косинусов, можно найти длины катетов:

\[b = c \cdot \cos(a)\] \[b = 5 \cdot \cos(30^\circ)\] \[b = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[b = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, используя теорему Пифагора, находим второй катет: \[a = \sqrt{c^2 - b^2}\] \[a = \sqrt{5^2 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2}\] \[a = \sqrt{25 - \frac{75}{4}}\] \[a = \sqrt{\frac{100}{4}}\] \[a = \frac{10}{2}\] \[a = 5\]

Таким образом, примером прямоугольного треугольника будет треугольник с гипотенузой \(c = 5\), катетом \(b = \frac{5\sqrt{3}}{2}\) и катетом \(a = 5\), при остром угле \(a = 30^\circ\).

2) Катет \(b\) и прилежащий к нему угол \(a\): Пусть катет \(b\) равен 4, а прилежащий угол \(a\) равен 45 градусов. Тогда, используя тригонометрические функции, находим другой катет:

\[a = b \cdot \tan(a)\] \[a = 4 \cdot \tan(45^\circ)\] \[a = 4 \cdot 1\] \[a = 4\]

Теперь, используя теорему Пифагора, находим гипотенузу: \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\] \[c = \sqrt{4^2 + 4^2}\] \[c = \sqrt{16 + 16}\] \[c = \sqrt{32}\] \[c = 4\sqrt{2}\]

Таким образом, примером прямоугольного треугольника будет треугольник с катетом \(b = 4\), катетом \(a = 4\) и гипотенузой \(c = 4\sqrt{2}\), при прилежащем угле \(a = 45^\circ\).

3) Катет \(a\) и противолежащий ему угол \(a\): Пусть катет \(a\) равен 3, а противолежащий угол \(a\) равен 60 градусов. Тогда, используя тригонометрические функции, находим другой катет:

\[b = a \cdot \tan(a)\] \[b = 3 \cdot \tan(60^\circ)\] \[b = 3 \cdot \sqrt{3}\]

Теперь, используя теорему Пифагора, находим гипотенузу: \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\] \[c = \sqrt{3^2 + (3 \cdot \sqrt{3})^2}\] \[c = \sqrt{9 + 27}\] \[c = \sqrt{36}\] \[c = 6\]

Таким образом, примером прямоугольного треугольника будет треугольник с катетом \(a = 3\), катетом \(b = 3 \cdot \sqrt{3}\) и гипотенузой \(c = 6\), при противолежащем угле \(a = 60^\circ\).