Question

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВK. Найдите площадь треугольника СВK, если площадь треугольника АВС равна 18, а синус угла А равен 0,8.

Answer 1

Для решения задачи воспользуемся известными формулами для площади треугольника и синуса угла в прямоугольном треугольнике.

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения длин двух его сторон и синуса угла между этими сторонами:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) \]

Также, в прямоугольном треугольнике синус угла можно выразить через отношение длин катета к гипотенузе:

\[ \sin(A) = \frac{BC}{AC} \]

Исходя из условия, где \(\sin(A) = 0.8\), мы можем выразить длину стороны BC:

\[ BC = 0.8 \cdot AC \]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника ABC:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) \]

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot 0.8 \]

Так как площадь треугольника ABC равна 18, то у нас есть уравнение:

\[ 18 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot 0.8 \]

Теперь мы можем рассмотреть треугольник BCK. Мы знаем, что сторона BC равна \(0.8 \cdot AC\), а сторона BK - это биссектриса треугольника ABC. Известно, что биссектриса делит противолежащий угол пополам. Таким образом, угол BKC равен половине угла A.

\[ \sin\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(A)}{2}} \]

Так как у нас известен \(\sin(A)\), мы можем найти \(\cos(A)\) и подставить в формулу для \(\sin\left(\frac{A}{2}\right)\). Найденное значение \(\sin\left(\frac{A}{2}\right)\) можно использовать для вычисления площади треугольника BCK:

\[ S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BK \cdot \sin\left(\frac{A}{2}\right) \]

После нахождения площади треугольника BCK, ответ на задачу будет получен.