Question

Докажите что в равных треугольниках соответствующие высоты равны ( для одной пары высот) ​

Answer 1

Для доказательства того, что в равных треугольниках соответствующие высоты равны, мы можем использовать свойство подобных треугольников и свойство высот.

Давайте представим, что у нас есть два равных треугольника, обозначим их как ΔABC и ΔDEF. Предположим, что высоты этих треугольников, опущенные из вершин A и D, обозначены как AH и DK соответственно.

Чтобы доказать, что эти высоты равны, мы должны показать, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны, и что соответствующие углы равны.

1. Подобие треугольников: Поскольку треугольники ΔABC и ΔDEF равны, их стороны пропорциональны. Мы можем записать это как:

AB/DE = AC/DF = BC/EF

2. Свойство высот: Высоты треугольников ΔABC и ΔDEF, опущенные из вершин A и D соответственно, являются перпендикулярными к основаниям треугольников. Это означает, что AH перпендикулярно к BC, а DK перпендикулярно к EF.

3. Значение высоты: Мы можем использовать свойство подобных треугольников, чтобы показать, что высоты AH и DK пропорциональны соответствующим сторонам треугольников ΔABC и ΔDEF. То есть:

AH/DE = AC/DF DK/BC = DE/EF

4. Равенство высот: Поскольку мы предполагаем, что треугольники ΔABC и ΔDEF равны, и их стороны пропорциональны (согласно пункту 1), мы можем сделать вывод, что:

AH/DE = DK/BC

То есть, высота, опущенная из вершины A треугольника ΔABC (AH), равна высоте, опущенной из вершины D треугольника ΔDEF (DK).

Таким образом, мы доказали, что в равных треугольниках соответствующие высоты равны.