Question

В четырёхугольнике ABCD диагональ AC перпендикулярна диагонали BD и делит её пополам. Докажите, что треугольники ABC и ADC равны и AC является биссектрисой угла BAD.

Answer 1

Чтобы доказать, что треугольники ABC и ADC равны и AC является биссектрисой угла BAD, мы можем использовать свойства перпендикуляров и равенства диагоналей в четырехугольнике.

Свойство перпендикуляров

Перпендикулярные диагонали в четырехугольнике образуют прямоугольный треугольник. В данном случае, так как AC перпендикулярна BD, мы можем сказать, что треугольник ABC является прямоугольным.

Свойство деления диагонали пополам

Дано, что диагональ AC делит диагональ BD пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей M является серединой BD.

Доказательство равенства треугольников ABC и ADC

Мы знаем, что треугольник ABC является прямоугольным, так как AC перпендикулярна BD. Также, точка M является серединой диагонали BD.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADC. У нас есть следующие факты: - AC перпендикулярна BD (дано) - Точка M является серединой диагонали BD (дано) - AC = AC (тривиально)

Таким образом, у нас есть два равных стороны (AC = AC) и общая сторона (AC), а также равные прямые углы (по свойству перпендикуляров). Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по стороне-углу-стороне (СУС).

Доказательство AC как биссектрисы угла BAD

Мы уже доказали, что треугольники ABC и ADC равны. Теперь рассмотрим угол BAC и угол DAC. Так как треугольники равны, у них соответственно равны противолежащие углы.

Таким образом, угол BAC равен углу DAC. AC, как сторона, делит угол BAD на два равных угла, поэтому AC является биссектрисой угла BAD.

Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и ADC равны, и AC является биссектрисой угла BAD.