Question

бессектрисса угла А параллелограмма АВСД пересекает его сторону ВС в точке Е. найдите площадь параллелограмма АВСД если ВЕ=5, ЕС=2,угол АВС =150

Answer 1

Конечно, давайте разберём эту задачу по шагам.

У нас есть параллелограмм ABCD, и биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Мы знаем, что длина отрезка BE равна 5, длина отрезка EC равна 2, и угол BAC равен 150 градусов.

Для начала, давайте обратим внимание на то, что биссектриса угла A делит угол BAC на два равных угла, поскольку она является биссектрисой. Таким образом, у нас есть два угла: угол BAE и угол EAC, каждый из которых равен половине угла BAC, то есть 150 градусов / 2 = 75 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрию и свойства треугольников для нахождения длин сторон параллелограмма. Обратим внимание на треугольникы ABE и AEC.

1. Найдём длину отрезка AC, который является диагональю параллелограмма.

Мы знаем, что угол BAE равен 75 градусам, а угол EAC также равен 75 градусам (так как это биссектриса угла A). Таким образом, у нас есть треугольник ABE с известными сторонами: AB = BE = 5 и углом BAE = 75 градусов.

Мы можем использовать закон синусов для треугольника ABE: \[\frac{AB}{\sin(\angle BAE)} = \frac{BE}{\sin(\angle ABE)}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{5}{\sin(75^\circ)} = \frac{5}{\sin(105^\circ)}\]

Теперь найдём длину стороны AC, используя треугольник AEC. У нас есть AE = AC - EC = AC - 2. Также у нас есть угол EAC = 75 градусов и сторона AE = 5.

Снова применим закон синусов: \[\frac{AE}{\sin(\angle EAC)} = \frac{AC - EC}{\sin(\angle AEC)}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{5}{\sin(75^\circ)} = \frac{AC - 2}{\sin(105^\circ)}\]

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их относительно AC.

\[AC = 5 \cdot \frac{\sin(105^\circ)}{\sin(75^\circ)} + 2\]

2. Теперь, когда мы нашли длину стороны AC, мы можем найти площадь параллелограмма ABCD.

Площадь параллелограмма выражается как произведение диагоналей и синуса угла между ними. Таким образом, площадь S равна:

\[S = AC \cdot BD \cdot \sin(\angle BAD)\]

Так как параллелограмм, BD = AC, и угол BAD = 150 градусов.

Подставляем значения: \[S = AC \cdot AC \cdot \sin(150^\circ)\]

Теперь, найденная ранее длина AC может быть использована для расчета площади параллелограмма. Вычислим её и получим окончательный ответ.