Question

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 32см. Угол между этой диагонали и плоскостью основания 30. Вычислить длину высоты, и площадь основания цилиндра

Answer 1

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся геометрическими свойствами цилиндра.

1. Длина высоты цилиндра (h): Диагональ осевого сечения цилиндра (d) и угол между этой диагонали и плоскостью основания (θ) образуют прямоугольный треугольник с высотой (h), радиусом цилиндра (r) и половиной длины диагонали (d/2).

Используем тригонометрию: \[ \cos(\theta) = \frac{r}{\frac{d}{2}} \]

Отсюда находим радиус: \[ r = \frac{d}{2 \cdot \cos(\theta)} \]

Теперь используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике: \[ h = \sqrt{d^2 - r^2} \]

2. Площадь основания цилиндра (S): Площадь основания цилиндра можно найти, зная радиус (r). Формула площади круга: \[ S = \pi r^2 \]

Теперь давайте подставим значения и решим задачу.

У нас дано: \[ d = 32 \, \text{см}, \quad \theta = 30^\circ \]

1. Вычисление радиуса (r): \[ r = \frac{32}{2 \cdot \cos(30^\circ)} \]

Рассчитаем: \[ r = \frac{32}{2 \cdot \cos(30^\circ)} \approx \frac{32}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{32}{\sqrt{3}} \]

2. Вычисление высоты (h): \[ h = \sqrt{32^2 - \left(\frac{32}{\sqrt{3}}\right)^2} \]

Рассчитаем: \[ h = \sqrt{1024 - \frac{1024}{3}} = \sqrt{\frac{2048}{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \]

3. Вычисление площади основания (S): \[ S = \pi \left(\frac{32}{\sqrt{3}}\right)^2 \]

Рассчитаем: \[ S = \pi \cdot \frac{32^2}{3} \]

Таким образом, высота цилиндра равна \( \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \) см, а площадь основания цилиндра равна \( \pi \cdot \frac{32^2}{3} \) квадратных сантиметра.