Question

Биссектриса тупого угла B параллелограмма ABCD делит сторону AD в отношении 1:2, считая от вершины A.Найдите меньшую сторону, если его периметр равен 80. Подробно пожалуйста

Answer 1

Давайте обозначим вершины параллелограмма ABCD как A, B, C и D соответственно. Пусть биссектриса тупого угла B делит сторону AD в отношении 1:2, считая от вершины A. Обозначим точку пересечения биссектрисы с AD как E.

Из условия задачи известно, что отношение деления стороны AD равно 1:2. Это означает, что AE/ED = 1/2.

Также, по свойствам биссектрисы, углы ABE и DBE равны между собой.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABE. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Мы знаем, что угол ABE равен углу DBE. Пусть угол ABE = угол DBE = x. Тогда у нас есть:

∠ABE + ∠BAE + ∠BEA = 180 x + ∠BAE + (180 - 2x) = 180 ∠BAE = 2x

Теперь мы знаем, что угол BAE в два раза больше угла ABE.

Теперь рассмотрим треугольник BAE. У нас есть углы BAE и BEA. Также, угол BAE равен 2x.

Теперь рассмотрим треугольник BAE:

∠BAE + ∠BEA + ∠EAB = 180 2x + (180 - 2x) + ∠EAB = 180 ∠EAB = 2x

Таким образом, у нас есть, что угол EAB также равен 2x.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. У нас есть углы BDE и BED. Также, угол BED равен x.

Треугольник BDE:

∠BDE + ∠BED + ∠EDB = 180 (180 - 2x) + x + (180 - 2x) = 180 x = 60

Таким образом, мы нашли значение угла x, которое равно 60 градусам.

Теперь мы можем найти углы BAE и EAB:

∠BAE = ∠EAB = 2x = 120 градусов

Теперь у нас есть все углы треугольника BAE. Мы можем использовать их, чтобы найти отношение длин сторон AB и AE (по закону синусов).

Пусть AB = a, тогда:

\[\frac{\sin(\angle BAE)}{AB} = \frac{\sin(\angle ABE)}{AE}\]

\[\frac{\sin(120^\circ)}{a} = \frac{\sin(60^\circ)}{AE}\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2AE}\]

\[a = AE\]

Таким образом, сторона AB равна AE. Мы также знаем, что AD = 3AE (по условию задачи). Теперь мы можем выразить периметр параллелограмма через стороны:

\[P = 2(AB + BC) = 2(AE + AE) = 4AE\]

Теперь, когда периметр равен 80, мы можем записать уравнение:

\[4AE = 80\]

\[AE = 20\]

Теперь мы знаем, что сторона AD равна 3AE, а сторона AB равна AE. Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равна:

\[AB = AE = 20\]