Question

в параллелограмме abcd проведите высоты bh1 и bh2 и найдите их длины, с условием, что сторона ab=2 см, ad=4 см, угол а=30 градусам

Answer 1

Для решения этой задачи давайте рассмотрим параллелограмм ABCD:

- \(AB = 2\) см, - \(AD = 4\) см, - Угол \(\angle A = 30^\circ\).

Также, чтобы найти длины высот \(BH_1\) и \(BH_2\), давайте воспользуемся свойствами параллелограмма.

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, \(BC = AD = 4\) см.

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Для этого нарисуем высоты \(BH_1\) и \(BH_2\).

Давайте обозначим \(BH_1\) как \(h_1\) и \(BH_2\) как \(h_2\).

Также, обозначим точку пересечения \(BH_1\) и \(AD\) как \(E\), а точку пересечения \(BH_2\) и \(AB\) как \(F\).

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: \(\triangle ABE\) и \(\triangle BCF\).

1. В треугольнике \(\triangle ABE\): - \(\angle A = 30^\circ\) (дано), - \(\angle B = 90^\circ\) (высота проведена из вершины), - Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), то \(\angle E = 60^\circ\).

2. В треугольнике \(\triangle BCF\): - \(\angle B = 90^\circ\) (высота проведена из вершины), - \(\angle C = 180^\circ - \angle A = 150^\circ\) (сумма углов в треугольнике).

Теперь мы можем использовать тангенс угла:

\[\tan(\angle) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{прилежащая сторона}}}}.\]

1. В треугольнике \(\triangle ABE\): \[\tan(30^\circ) = \frac{{h_1}}{{AB/2}}.\]

2. В треугольнике \(\triangle BCF\): \[\tan(150^\circ) = \frac{{h_2}}{{BC}}.\]

Теперь решим эти уравнения для \(h_1\) и \(h_2\).

1. Для треугольника \(\triangle ABE\): \[\tan(30^\circ) = \frac{{h_1}}{{2}}.\] \[h_1 = 2 \cdot \tan(30^\circ).\]

2. Для треугольника \(\triangle BCF\): \[\tan(150^\circ) = \frac{{h_2}}{{4}}.\] \[h_2 = 4 \cdot \tan(150^\circ).\]

Теперь, чтобы найти значения тангенсов, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{\sin(30^\circ)}}{{\cos(30^\circ)}} = \frac{{1/2}}{{\sqrt{3}/2}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}.\]

\[\tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}.\]

Таким образом, \[h_1 = 2 \cdot \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{3}}},\] \[h_2 = 4 \cdot \left(-\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\right) = -\frac{{4}}{{\sqrt{3}}}.\]

Если нужно выразить ответ в более удобной форме, можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя в знаменателе:

\[h_1 = \frac{{2 \sqrt{3}}}{{3}},\] \[h_2 = -\frac{{4 \sqrt{3}}}{{3}}.\]

Таким образом, длины высот \(BH_1\) и \(BH_2\) равны \(\frac{{2 \sqrt{3}}}{{3}}\) и \(-\frac{{4 \sqrt{3}}}{{3}}\) соответственно.