Question

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = 3 и АС = 4. Ромб ВDЕF расположен в треугольнике АВС, вершина В общая, а остальные три вершины ромба лежат на трёх сторонах треугольника АВС. Найти сторону ромба

Answer 1

Большая диагональ ромба является биссектрисой угла В.
Гипотенуза треугольника равна √(3²+4²) =√25 = 5.
Длину биссектрисы угла В находим по формуле:
mb = (2/(a+c))*√(acp(p-b))/
Полупериметр р = (3+4+5)/2 = 12/2 = 6.
mb = (2*(3+5))*√(3*5*6*(6-4)) = (2/8)*√180 = (1/4)*6√5 = (3/2)*√5.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения О делятся пополам.
Из прямоугольного треугольника BFO находим сторону ромба BF:
BF = ВО / cos (B/2)/
cos B = 3/5.
cos(B/2) = √((1+cos B)/2) = √(1+(3/5))/2) = √(8/10) = √(4/5) = 2/√5.
Тогда BF = (((3/2)*√5)/2) / (2/√5) = (3√5*√5) / (4*2) = 15 / 8 = 1,875.