Question

Даны равносторонние треугольники ABC и A1B1C1. O и O1 - соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, OA=O1A1. Докажите, что треугольники ABC=A1B1C1.

Answer 1

пусть АН высота (медиана, биссектриса)

тогда АО=2/3АН (медианы пунктом пересечения делятся в соотношении 2/1 от вершины)

аналогично А1О1=2/3А1Н1 => AH=A1H1

СН=1/2АС (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть АС равно х, СН равно х/2

по теореме Пифогора из треугольника АСН 3х^2/2=AH^2 => x=AH* (корень из 6)/2

С1Н1=1/2А1С1 (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть А1С1 равно у, С1Н1 равно у/2

по теореме Пифогора из треугольника А1С1Н1 3у^2/2=A1H1^2 => у=A1H1* (корень из 6)/2

получаем х=у

по трем сторонам треугольники равны