Question

Даны точки a (0; -2; 0) и b (1; 2; -1), О - начало координат 1. На оси z найдите точку М ( 0; 0; z), равноотдаленую от точек А и В. 2. Найдите точку С (x; y; z) такую, вектором CO и АВ были равными. 3. При каком значении x вектор u (x; 2; 1) будет перпендикулярен вектору AB.

Answer 1

Даны точки a (0; -2; 0) и b (1; 2; -1), О - начало координат
1. На оси z найдите точку М ( 0; 0; z), равноудаленую от точек А и В.

Точка М лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину.
Вектор АВ: (1-0=1; 2-(-2)=4; -1-0=-1) = (1; 4; -1).
Пусть это данный вектор →n = {A, B, C}.
Точка Р - середина АВ: ((0+1)/2=0,5; (-2+2)/2=0; (0+(-1))/2=-0,5) =
                                         = (0,5; 0; -0,5).
Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор
MP = {(x − x0), (y − y0), (z − z0)} ортогонален вектору →n = {A, B, C}.
Нам дана точка М ( 0; 0; z).

Условие ортогональности этих векторов (→n, MP) = 0 в координатной форме: 

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Это и есть искомое уравнение.

То есть, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую–нибудь точку, принадлежащую плоскости.

Подставим координаты вектора АВ (→n = {A=1, B=4, C=-1}) и точки Р:  (0,5; 0; -0,5).

Получаем уравнение плоскости: 1(x-0,5)+4y-1(z+0,5) = 0.

По заданию х и у = 0.

-0,5 - z - 0,5 = 0.

z = -1.

Ответ: M(0; 0; -1).

2. Найдите точку С (x; y; z) такую, чтобы векторы CO и АВ были равными.
У равных векторов равны их координаты.
Вектор АВ: (1; 4; -1).
Так как конец вектора в точке О(0; 0; 0), то координаты точки С будут с обратным знаком к вектору АВ.
Ответ: С(-1; -4; 1).

3. При каком значении x вектор u (x; 2; 1) будет перпендикулярен вектору AB.

Два вектора  будут перпендикулярны тогда, когда их скалярное произведение будет равняться нулю.То есть, должно выполняться условие: ax*bx + ay*by + az*bz = 0

Подставим в него заданные координаты векторов АВ: (1; 4; -1) и u (x; 2; 1), получим: 1*х +4*2 + (-1)*1 = 0

Из полученного уравнения найдем : х = 1 - 8 = -7.

Ответ. Векторы АВ  и u будут перпендикулярны при x = -7.