Question

Пусть ABCD - прямоугольник, BK и DN - высоты треугольников ABC и ACD соответственно, KN = 5 см, BK = 6 см. Найдите площадь прямоугольника ABCD.​

Answer 1

∠BAC = ∠ACD как накрест лежащие углы при AB || CD и секущей AC.

AB = CD, следовательно, ΔABK = ΔCND по гипотенузе и острому углу

У равных треугольников соответствующие элементы (стороны, углы) равны, т.е. BK = DN; CN = AK.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC: по т. Пифагора

$BC^2=CK^2+BK^2=CK^2+36$                                       (*)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: по т. Пифагора

$AC^2=AB^2+BC^2~~~\Rightarrow~~~ BC^2=AC^2-AB^2$

Подставляем теперь в равенство (*), получаем

$AC^2-AB^2=CK^2+36$

AB² найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABK, значит

$AB^2=BK^2+AK^2=36+CN^2$

Все данные у нас есть, осталось решить уравнение

$AC^2-(36+CN^2)=CK^2+36\\ (2CN+KN)^2-36-CN^2=(CN+KN)^2+36\\ 4CN^2+4CN\cdot KN+KN^2-36-CN^2=CN^2+2CN\cdot KN+KN^2+36\\2CN^2+2CN\cdot KN-72=0~|:2\\ CN^2+CN\cdot KN-36=0\\ CN^2+5CN-36=0$

Получили квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант

$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-36)=25+144=169$

$CN=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-5-13}{2\cdot 1}=-9$ - не удовлетворяет условию

$CN=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-5+13}{2\cdot 1}=4$ см

Следовательно, AC = 2*4 + 5 = 13 см, тогда

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BK=\dfrac{1}{2}\cdot 13\cdot 6=39$ см²

$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot 39=78$ см²

Второй способ решения:

У треугольников ABK и BKC прямые углы равны и ∠ABK = ∠BCK, следовательно, ΔABK ~ ΔBKC, из подобия треугольников следует, что BK/CK = AK/BK

$\dfrac{6}{CN+5}=\dfrac{CN}{6}~~~\Rightarrow~~~ CN^2+5CN-36=0$

Такое же уравнение как в первом способе.

Ответ: 78 см².