Question

Докажите, что биссектрисы противоположных углов прямоугольника образуют параллелограмм.Подробнее, если можно.

Answer 1

Решение
Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов при вершинах C и D — в точке Q, внешних углов при вершинах A и D — в точке R, внешних углов при вершинах A и B — в точке S. 

Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то PQRS — прямоугольник. 

Пусть M — середина BC. Тогда PM — медиана прямоугольного треугольника BPC, поэтому PM = MC. Значит, 

< MPC = < PCM = < PCK, 

где K — точка на продолжении стороны DC за точку C. Следовательно , PM || CD. Аналогично докажем, что если N — середина AD, то RN = ND и RN || CD. Кроме того , MN || CD и MN = CD. Следовательно, точки M и N лежат на диагонали PR прямоугольника PQRS и 

PR = PM + MN + NR = MC + CD + ND = BC + CD.

Answer 2

PR=PM+MB+NR=NC+CD+ND=BC+CP