Question

К окружности радиуса R из внешней точки М проведены касательные МА и МВ, образующие угол α. Определите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой коружности.

Answer 1

надо найти площадь сектора для начала:

проведем касательные...получается четырехугольник АМВО (О - центр окружности)

сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна = 360

отметим цетральный угол как х, тогда : (радиусы проведенные к точкам касания образуют прямой угол, значит по 90 градусов

90+90+α + х = 360, х = 180 - а или π - α

отсюда: S = r²a/2 - площадь сектора (a - цетральный угол он же и "х")

S = R²*(π - α) /2

теперь..найдем площади 2х равных прямоугольных треугольников

тогда tga/2 = R/у  (у - отрезок АМ = АВ)

у = R / tga/2

площадь равна: R/tga/2 * R / 2 = R²/2tg(a/2)

вся площадь: 2 * R²/2tg(a/2)  = R²/tg(a/2)

R²/tg(a/2) - R²*(π - α) /2  это и будет площадь той фигуры!