Question

У трапеции АВСД основание АД в 4 раза больше основания ВС, а площадь трапеции 50. Точка О — точка пересечения диагоналей, точка Р — середина основания АД, М — точка пересечения АС и ВР, точка N — точка пересечения ВД и СР. Найти площадь треугольника МNО.

Answer 1

Треугольники МВС и АМР подобны, и ВС/AP = 1/2; => CM/AM = 1/2; откуда AM = 2*CM; AC = AM + CM = 2*CM + CM = 3*CM; СМ = AC/3;
подобны и треугольники ВОС и AOD, и CO/OA = BC/AD = 1/4; то есть AO = 4*CO; AC = AO + OC = 4*OC + OC = 5*AC; CO = AC/5;
отсюда MO = CM - CO = AC*(1/3 - 1/5) = AC*2/15;
Точно так же показывается, что NO = BD*2/15; (ясно, что BO = DO/4; откуда BD = BО  +OD = BO + 4*BO = 5*BO; а из подобия треугольников BNC и PMD => BN/ND = BC/PD = 1/2; ND = 2*BN; BD = ND + BN = 3*BN; далее ON = BN - BO = BD*(1/3 - 1/5) = BD*2/15); 
Если провести CК II BD, точка К лежит на продолжении AD, то BDKC – параллелограмм, и CK = BD; и угол AOD = угол ACK;
треугольник ACK подобен треугольнику MON, потому что соответственные стороны пропорциональны (NO = BD*2/15 = CK*2/15; MO = AC*2/15, угол AOD = угол ACK). Коэффициент подобия равен 2/15. 
Поскольку  AK = AD + BC, площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции. 
То есть площадь ACK равна площади трапеции S. 
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 50*4/225 = 8/9;