Question

Найдите площадь треугольника авс, если ав=20,ас=34,а медиана ам=21

Answer 1

(см. чертеж)
В черном треугольнике АВС построим медиану АМ (медиана делит сторону пополам) 
затем из точки М продолжим эту медиану до точки D так, что MD=AM=21.
Соединим точку D c вершинами B и С треугольника АВС,
полученный четырехугольник ABCD - это параллелограмм, так как точка М (точка пересечения диагоналей ВС и AD)  делит его диагонали пополам,
то есть ВМ=МС-по условию (АМ-медиана); АМ=МD - по построению
у параллелограмма противоположные стороны равны, значит АВ=CD=20
площадь ΔАВС будет равна  площади ΔАDС и равны половине площади ABCD
Рассмотрим ΔАDC:
AD=АМ+МD=2*AM=2*21=42
DC=AB=20
AC=34
найдем угол α по теореме косинусов:
с²=а²+в²-2ав*cosα
cosα=(а²+в²-с²)÷2вс=(42²+34²-20²)÷(2*42*34)=15/17
выразим синус из основного тригонометрического тождества:
sin²α+cos²α=1
sinα=√(1-cos²α)=√(1-(15/17)²)=8/17
находим площадь ΔАDC:
S=(а*в*sinα)/2=(42*34*(8/17))/2=336
Sadc=Sabc=336
ответ: 336