Question

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен альфа. Найти отношение площади треугольника к площади описанного около него круга.

Answer 1

Так как площадь треугольника равна:
$S_{\Delta}=\cfrac{1}{2}\cdot b\cdot h$
Зная угол при основании найдем высоту:
$h=a\cdot\sin\alpha$
Тогда площадь будет равна:
$S_{\Delta}=\cfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha$
Исходя из теоремы синусов:
$\cfrac{a}{\sin\alpha}=2R$
$a=2R\cdot\sin\alpha$
Выразим сторону b:
$\cos\alpha=\cfrac{b}{2a}$
$b=2a\cdot\cos\alpha=4R\sin\alpha\cos\alpha$
Тогда площадь треугольника будет равна:
$S_{\Delta}=\cfrac{1}{2}\cdot 4R\sin\alpha\cos\alpha\cdot 2R\cdot\sin\alpha=4R^2\sin^2\alpha\cos\alpha$
А площадь круга равна:
$S_o=\pi R^2$
Отношение площади треугольника к площади круга:
$\cfrac{S_{\Delta}}{S_o}=\cfrac{4R^2\sin^2\alpha\cos\alpha}{\pi R^2}=\cfrac{4}{\pi}\cdot\sin^2\alpha\cos\alpha$