Question

В шар вписана правильная треугольная пирамида, длина ребра основания которой равна 6 см.Вычислите расстояние от центра шара до плоскости боковой грани пирамида, если объем шара равен 256/3Пи см^3, а его центр расположен внутри пирамиды

Answer 1

В шар вписана правильная треугольная пирамида, длина ребра основания которой равна 6 см. Вычислите расстояние от центра шара до плоскости боковой грани пирамиды, если объём шара равен 256π /3 см³,  а его центр расположен внутри пирамиды.

Обозначим пирамиду КАВС, КН - её высота,                                          АД - диаметр окружности, описанной вокруг основания пирамиды - правильного треугольника АВС, АМ - высота ∆ АВС.

Центр шара -О, ОЕ - искомое расстояние- перпендикуляр к грани КВС . 

Пирамида правильная, следовательно, основание её высоты КН расположено в центре описанной вокруг АВС окружности, а центр шара лежит на ее высоте. 

АМ=АВ*sin 60º=3√3

АН- радиус описанной вокруг ∆ АВС окружности. 

АН=АМ*2/3=2√3

НМ=АМ:3=√3

Объём шара V=4πR³ /3

R³ (шара)=3V/4π

R³=(3*256π:3):4π=64

R=∛64=4

На схеме осевого сечения шара КТ- диаметр шара, 

АД хорда ( диаметр описанной вокруг АВС окружности)

НД=АН=2√3

По свойству хорд АН*НД=КН*НТ

Пусть ОН=х

Тогда KH=R+x, TH=R-x

(2√3)²=(4+x)(4-x)

12=16-x²⇒

х=2 

Рассмотрим прямоугольные ⊿ КНМ и ⊿ КЕО. Они подобны - имеют общий острый угол при К. 

Из подобия следует отношение КО:КМ=ОЕ:НМ

КН=КО+ОН=6

По т.Пифагора 

КМ=√(KH²+MH²)=√(36+3)=√39

4:√39=ОЕ:√3

OE=4√3:√39

OE=4/√13 см