Question

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, AC=6, AB=3, Найти; а) AB*AC; б) АО*AD; в) AD*DC.

Answer 1

В задаче надо найти скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

↑a · ↑b = |↑a| · |↑b| · cosα

Сначала найдем длины всех векторов.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

AO = OC = 3

AO = OB = AB = 3, значит треугольник АОВ равносторонний и  

∠BAO = 60°.

Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

ВС = √(АС² - АВ²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3

Противоположные стороны прямоугольника равны.

а) ↑АВ · ↑АС = |↑AB| · |↑AC| · cos∠BAC =

                      = 3 · 6 · cos60° = 18 · 1/2 = 9

б) ↑AO · ↑AD = |↑AO| · |↑AD| · cos∠OAD

∠OAD = 90° - ∠OAB = 90° - 60° = 30°

↑AO · ↑ AD = 3 · 3√3 · √3/2 = 27/2 = 13,5

в) ↑AD · ↑DC = |↑AD| · |↑DC| · cos∠ADC = 3√3 · 3 · cos90° =

                       = 3√3 · 3 · 0 = 0