Question

В тетраэдре ABCD угол DAC = углу DAB. AB=AC.Найти угол между прямыми AD и BC.

Answer 1

BC и AD лежат в разных плоскостях, не параллельны и не пересекаются. они – скрещивающиеся прямые.

 Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. 

Рассмотрим ∆ ВАD и CAD. 

АВ=АС по условию. АD - общая сторона, углы между равными сторонами равны. Следовательно. эти треугольники равны по 1-му признаку равенства треугольников. ⇒ ВD=CD и 

∆ ВСD- равнобедренный. Его высота DH перпендикулярна ВС и делит ВС пополам ( свойство). Н - середина ВС, ⇒ АН - высота равнобедренного ∆ АВС. Плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная к пря­мой, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся две дан­ные плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­на к каж­дой из этих плос­ко­стей. ⇒  Плоскость АНD перпендикулярна плоскости АВС и DВС. Отсюда угол между АD и ВС прямой. 

Или:

Проведем через вершину D прямую МК параллельно ВС. 

DH перпендикулярен ВС, значит, перпендикулярен и параллельной ВС прямой  МК. 

АD - наклонная, HD  содержит её проекцию на плоскость ВDC, По т. о 3-х перпендикулярах АD  перпендикулярна МК и перпендикулярна ВС. Угол между прямыми АD и ВС равен 90°