Question

Докажите,что радиус окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, равен радиусу окружности, проходящей через точку пересечения его высот и две вершины треугольника.

Answer 1

Фото:::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством описанной окружности остроугольного треугольника, а также свойством перпендикулярности высоты и основания треугольника.

Пусть у нас есть остроугольный треугольник ABC и его высоты AD, BE и CF, пересекающиеся в точке H. Пусть R1 - радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, а R2 - радиус окружности, проходящей через точку H и две вершины треугольника.

Так как окружность, проходящая через точку H и две вершины треугольника, проходит также через точку D, то отрезок DH является диаметром этой окружности.

Пусть точка G - середина отрезка DH. Так как DH является диаметром окружности, переделяющие этот диаметр на равные отрезки точки G являются его центром. Тогда DG = GH = R2/2.

Также, так как AD перпендикулярна BC, а точка G - середина DH, то DG перпендикулярна BE и F G перпендикулярна CF.

Рассмотрим треугольник ABC и прямойугольник DGH: - Треугольник ABC ичносторонний, так как AD - высота. - Так как DG = GH = R2/2, то прямоугольник DGH является квадратом со стороной DG = R2/2. - Точка G - середина DH, соединяющего основание треугольника с его высотой. - Теорема гипотенузы: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы равнобедренного треугольника с равными катетами. - Прямоугольник с вершинами в точках G, D и H является четвертиком квадрата со стороной R2/2.

Заметим, что треугольник ABC и четвертик DGH касаются описанной окружности радиуса R1 в точках, совпадающих с его вершинами.

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC (R1), равен половине стороны четвертика DGH (R2/2), то есть R1 = R2/2. Умножая обе части равенства на 2, получаем R1 = R2, что и требовалось доказать.

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника ABC, равен радиусу окружности, проходящей через точку пересечения высот и две его вершины.