Question

Даны три вектора: a = (8;4;1) b = (2;-2;1) c = (1;1;9) Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора (8 4 1) на плоскость, определяемую векторами a и b.

Answer 1

Вектор А больше на 8,34 чем вектор С и B соответственно, тем самым плоскость а и b = 43,3 8:4:1*2,4(1,1:2)=43,3

Answer 2

Для нахождения вектора, являющегося ортогональной проекцией вектора \( (8, 4, 1) \) на плоскость, определенную векторами \( \mathbf{a} = (8, 4, 1) \) и \( \mathbf{b} = (2, -2, 1) \), нужно выполнить следующие шаги.

1. Найти вектор нормали к плоскости: Вектор нормали \( \mathbf{n} \) к плоскости, определенной векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), можно найти как векторное произведение этих векторов: \[ \mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} \]

2. Найти проекцию вектора на плоскость: Проекция вектора \( \mathbf{v} \) на плоскость с нормалью \( \mathbf{n} \) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{v}_{\text{пр}} = \mathbf{v} - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|^2} \cdot \mathbf{n} \] где \( \cdot \) - скалярное произведение векторов, а \( \|\mathbf{n}\| \) - длина вектора \( \mathbf{n} \).

Теперь рассчитаем все необходимые величины:

1. Вектор нормали к плоскости: \[ \mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} \] \[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (6, -18, -20) \]

2. Проекция вектора \( (8, 4, 1) \) на плоскость: \[ \mathbf{v}_{\text{пр}} = (8, 4, 1) - \frac{(8, 4, 1) \cdot (6, -18, -20)}{\|(6, -18, -20)\|^2} \cdot (6, -18, -20) \]

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: \[ (8, 4, 1) \cdot (6, -18, -20) = 8 \cdot 6 + 4 \cdot (-18) + 1 \cdot (-20) = 48 - 72 - 20 = -44 \]

Знаменатель: \[ \|(6, -18, -20)\|^2 = \sqrt{6^2 + (-18)^2 + (-20)^2} = \sqrt{36 + 324 + 400} = \sqrt{760} \]

Теперь вычислим проекцию: \[ \mathbf{v}_{\text{пр}} = (8, 4, 1) - \frac{-44}{\sqrt{760}} \cdot (6, -18, -20) \]

Приблизительный результат: \[ \mathbf{v}_{\text{пр}} \approx (5.11, 3.22, 0.11) \]

Таким образом, вектор \( (5.11, 3.22, 0.11) \) является ортогональной проекцией вектора \( (8, 4, 1) \) на плоскость, определенную векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).