Question

Биссектирисы углов A и D параллеограмма ABCD пересекаются в точке E стороны ВС,Докажите,что Е-середина ВС

Answer 1

Обозначим угол A параллелограмма за a, угол B параллелограмма за b. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, тогда a+b=180. Рассмотрим треугольник ABE. Так как AE - биссектриса угла A, угол BAE равен a/2. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, BEA=180-b-a/2=a/2. То есть, в треугольнике равны углы BAE и BEA, тогда он равнобедренный и AB=BE.

Аналогично, угол C равен углу А и равен а, угол D равен b. В треугольнике CDE угол CDE равен b/2, так как DE - биссектриса. Тогда угол DEC равен 180-a-b/2=b/2. Таким образом, треугольник CDE равнобедренный и EC=CD. Так как AB=CD, BE=EC, тогда E - середина BC, что и требовалось.

Answer 2

Для доказательства того, что точка \( E \) является серединой стороны \( BC \) параллелограмма \( ABCD \), давайте рассмотрим биссектрисы углов \( A \) и \( D \).

1. Обозначим точку пересечения биссекрис угла \( A \) и \( D \) за \( E \).

2. Рассмотрим треугольник \( ABE \). В этом треугольнике биссекриса угла \( A \) делит угол \( ABE \) на два равных угла.

3. Также рассмотрим треугольник \( CDE \). В этом треугольнике биссекриса угла \( D \) делит угол \( CDE \) на два равных угла.

4. Так как углы \( ABE \) и \( CDE \) в параллелограмме \( ABCD \) смежные, то два угла, образованные биссекрисами, общие для этих треугольников.

5. Из равенства углов в треугольниках \( ABE \) и \( CDE \) следует, что угол \( BAE \) равен углу \( CDE \), и угол \( CDE \) равен углу \( ABE \).

6. Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \). Угол \( BAE \) равен углу \( CDE \), а также углу \( B \), так как \( AB \parallel CD \). Таким образом, угол \( B \) также равен углу \( CDE \).

7. Теперь мы видим, что угол \( B \) в треугольнике \( ABC \) равен углу \( CDE \), что означает, что сторона \( BC \) делится биссекрисой \( DE \) пополам.

8. Следовательно, точка \( E \) является серединой стороны \( BC \) параллелограмма \( ABCD \).

Таким образом, мы доказали, что точка \( E \) действительно является серединой стороны \( BC \) параллелограмма \( ABCD \).