Question

Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов

Answer 1

Разность векторов равна сумме одного из данных векторов с вектором, противоположным второму вектору. 
Доказательство
Пусть у нас даны векторы а и b. По правилу треугольника сложим вектор а и -b. Получим вектор с=а+(-b)=a-b

Answer 2

Теорема о разности векторов утверждает, что разность двух векторов равна их сумме с противоположными знаками. Формулировка теоремы звучит следующим образом:

Пусть \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) и \( \mathbf{w} \) - векторы в одном и том же векторном пространстве, тогда:

\[ \mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + (-\mathbf{v}) \]

где \( -\mathbf{v} \) - вектор, противоположный вектору \( \mathbf{v} \), и его координаты равны соответствующим координатам вектора \( \mathbf{v} \), умноженным на -1.

Теперь рассмотрим доказательство этой теоремы:

Давайте представим векторы \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) и их разность \( \mathbf{u} - \mathbf{v} \) в виде координат. Пусть \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \) и \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \), где \( n \) - размерность векторов.

Тогда разность \( \mathbf{u} - \mathbf{v} \) определится как:

\[ \mathbf{u} - \mathbf{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, \ldots, u_n - v_n) \]

Теперь рассмотрим вектор \( -\mathbf{v} \), который является вектором с противоположными координатами:

\[ -\mathbf{v} = (-v_1, -v_2, \ldots, -v_n) \]

Теперь сложим вектор \( \mathbf{u} \) и \( -\mathbf{v} \):

\[ \mathbf{u} + (-\mathbf{v}) = (u_1, u_2, \ldots, u_n) + (-v_1, -v_2, \ldots, -v_n) \]

Поэлементное сложение даст нам:

\[ (u_1 - v_1, u_2 - v_2, \ldots, u_n - v_n) \]

Это совпадает с определением разности \( \mathbf{u} - \mathbf{v} \), и, следовательно:

\[ \mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + (-\mathbf{v}) \]

Таким образом, теорема о разности векторов доказана.