Question

Четырёхугольник ABCD‍ вписан в окружность. Диагональ AC‍ является биссектрисой угла BAD‍ и пересекается с диагональю BD‍ в точке K.‍ Найдите KC,‍ если BC = 4,‍ а AK = 6.‍

Answer 1

По условию <ДАC=<ВАC.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны, значит  <ДАC=<ДВC (опираются на дугу ДС),  <ВАC=<ВДC (опираеются на дугу ВС).
ΔСАВ и ΔСВК подобны по 1 признаку ( <ВАC=<КВC и <АСВ= <КСВ- совпадающие).
КС/ВС=ВС/АС
АС=АК+КС=6+КС
КС/4=4/(6+КС)
КС²+6КС=16
D=36+64=100
КС=(-6+10)/2=2

Answer 2

Определим основные свойства данной задачи.

1. Диагональ ac является биссектрисой угла bad. Это означает, что угол cab равен углу cad.

2. Диагональ ac пересекается с диагональю bd в точке k.

3. Внешний угол кад равен сумме внутренних углов bkc и bcd.

Из свойств первого пункта можно заключить, что угол cab равен половине суммы углов bad и bcd. Назовем эту половину угла cab как α.

Из свойства третьего пункта можно заключить, что угол bkc равен внешнему углу кад, то есть 2α.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, можно записать следующее уравнение: α + 2α + α = 180 4α = 180 α = 45 градусов

Теперь можно вычислить углы kab и kca. Угол kab равен 45 градусов, так как в треугольнике cab угол cab равен 45 градусов. Угол kca равен 90 градусов, так как это острый угол в прямоугольном треугольнике akc.

Таким образом, треугольник akc является прямоугольным и равнобедренным, так как угол kab равен углу kca. Это значит, что длина отрезка kc равна длине отрезка ak, то есть kc = ak = 6.

Ответ: kc = 6.