Question

Внутри угла acb=60 градусов взята точка M. Известно, что AC=BC, AM =корень из 2, BM =2, угол AMC =15 градусов. Найдите CM.

Answer 1

Так как не сказано что он лежит в треугольнике АВС . Треугольник АВС равносторонний так как угол С равен 60 гр, а стороны равны, тогда углы при оснований тоже равны по 60гр. 
Найдем углы ВАМ и МВА. 
Выведем такие соотношения, для  начало я обозначу стороны треугольников как х, а углы ВАМ и МВА $\alpha \ \beta$ . Тогда 
$\frac{2}{sin \alpha }=\frac{\sqrt{2}}{sin \beta }$
С одной стороны сторона СМ равна 
$CM^2=x^2+2-2\sqrt{2}xcos(60+a)$
с другой стороны  $CM^2=x^2+4-4xcos(60+ \beta )$ 
и по теореме косинусов сторона х равна 
$x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*cos(a+b)}$
теперь перед началом всех преобразований , сделаем предварительные вычисления 
$cos(60+a)=0.5cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin \alpha \\ cos(60+b)=0.5cos \beta -\frac{\sqrt{3}}{2}sin \beta \\ cos(a+b)=cos \alpha *cos \beta -sin \alpha *sin \beta$

Теперь для простоты сделаем замену , еще одну 
$sinb=z$
тогда другие стороны равны 
$cosb=\sqrt{1-z^2}\\ sina=\frac{2z}{\sqrt{2}}\\ cosa=\sqrt{1-\frac{4z^2}{2}}$
Тогда сторона х запишется как 
$x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*(\sqrt{1-\frac{4z^2}{2}}*\sqrt{1-z^2}-\frac{2z}{\sqrt{2}}*z)}$

Теперь все это подставим в уравнение где СМ, решим данное уравнение , получим что  $z= \frac{\sqrt{2}}{2}$
то есть  $\beta =45\\ \alpha =90$
тогда СМ равна $\sqrt{x^2+2-2\sqrt{2}*x*cos150}\\ x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*cos135}=\sqrt{2}\\ CM=\sqrt{2+2+2\sqrt{2}*\sqrt{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{4+2\sqrt{3}}$

Answer 2

Дано: Внутри угла ACB = 60 градусов, AM = √2, BM = 2, угол AMC = 15 градусов.

Чтобы найти CM, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника AMC.

Теорема косинусов гласит: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

где c - сторона противолежащая углу C, a и b - стороны, образующие угол C.

Применим эту теорему к треугольнику AMC, чтобы найти CM.

Мы знаем, что AC = BC, поэтому AC = BC = a.

Также мы знаем, что AM = √2 и BM = 2.

Теперь нам нужно найти угол C. У нас есть угол AMC = 15 градусов и угол ACB = 60 градусов. Угол C можно найти, вычтя сумму углов AMC и ACB из 180 градусов.

Угол C = 180 - (AMC + ACB) = 180 - (15 + 60) = 105 градусов.

Теперь мы можем применить теорему косинусов:

CM^2 = AM^2 + AC^2 - 2 * AM * AC * cos(C)

Подставим известные значения:

CM^2 = (√2)^2 + a^2 - 2 * √2 * a * cos(105)

Simplifying the equation:

CM^2 = 2 + a^2 - 2√2 * a * cos(105)

Мы также знаем, что AC = BC = a, поэтому можем заменить а на AC:

CM^2 = 2 + AC^2 - 2√2 * AC * cos(105)

Для нахождения CM найдем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

CM = √(2 + AC^2 - 2√2 * AC * cos(105))

Теперь нам нужно найти AC. Мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(ACB)

Поскольку AB = BC, мы можем заменить AB на BC в уравнении:

AC^2 = BC^2 + BC^2 - 2 * BC^2 * cos(ACB)

AC^2 = 2 * BC^2 - 2 * BC^2 * cos(ACB)

AC^2 = 2 * BC^2 * (1 - cos(ACB))

Теперь подставим известные значения:

AC^2 = 2 * 2^2 * (1 - cos(60))

AC^2 = 8 * (1 - 0.5)

AC^2 = 8 * 0.5

AC^2 = 4

AC = 2

Теперь, используя значение AC, мы можем подставить его в уравнение для CM:

CM = √(2 + AC^2 - 2√2 * AC * cos(105))

CM = √(2 + 4 - 2√2 * 2 * cos(105))

CM = √(6 - 4√2 * cos(105))

Вычислим cos(105):

cos(105) = cos(180 - 105) = cos(75)

Мы можем использовать тригонометрические таблицы или калькулятор, чтобы найти значение cos(75), которое равно примерно 0.2588.

Теперь подставим это значение в уравнение для CM:

CM = √(6 - 4√2 * 0.2588)

CM = √(6 - 1.0336√2)

CM ≈ √(6 - 1.46)

CM ≈ √4.54

CM ≈ 2.13

Таким образом, длина CM примерно равна 2.13.