Question

В треугольнике АВС известны стороны: ВС=а,СА=в,АВ=с. Найдите отрезки сторон,на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью

Answer 1

Пусть сторона, равная а, разделена на отрезки длиной х и (а - х), тогда угол В образуюют отрезки, равные х, а угол С отрезки, равные (а - х), угол С образуют отрезки (с-х).

Выходит, что сторона, равная в состоит из отрезков (а-х) и (с-х).

в = а - х + с - х

2х = а + с - в

х = 0,5(а + с - в)

а - х = а - 0,5а - 0,5с + 0,5в = 0,5а + 0,5в - 0,5с = 0,5(а + в - с)

с- х = с - 0,5а - 0,5с + 0,5в = 0,5с - 0,5а + 0,5в = 0,5(в + с - а)

Итак, вписанная окружность делит стороны треугольника на три пары равных отрезков.

ВС = а на отрезки х = 0,5(а + с - в) и (а - х) = 0,5(а + в - с)

СА = в на отрезки (а - х) = 0,5(а + в - с) и (с- х) = 0,5(в + с - а)

АВ = с на отрезки х = 0,5(а + с - в) и (с- х) = 0,5(в + с - а)

Answer 2

В треугольнике ABC с известными сторонами BC = a, CA = b и AB = c рассмотрим вписанную окружность. Пусть точки касания этой окружности с сторонами треугольника обозначаются как D, E и F, где D лежит на BC, E на CA, а F на AB.

Известно, что касательная к окружности в точке касания является перпендикулярной радиусу в этой точке. Таким образом, у нас есть три пары треугольников подобия:

1. Треугольник ABD подобен треугольнику ACD. 2. Треугольник AEC подобен треугольнику ABC. 3. Треугольник BCF подобен треугольнику BAC.

Из подобия треугольников мы можем записать следующие отношения длин сторон:

1. \(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}\) 2. \(\frac{CE}{AE} = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}\) 3. \(\frac{AF}{BF} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}\)

Теперь, чтобы найти отрезки сторон, на которые стороны треугольника делятся точками касания, нужно использовать эти отношения. Обозначим \(x\), \(y\) и \(z\) длины отрезков BD, CE и AF соответственно.

Тогда: 1. \(BD = \frac{cx}{c + b}\) 2. \(CE = \frac{ay}{a + c}\) 3. \(AF = \frac{bz}{b + a}\)

Таким образом, отрезки сторон треугольника, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью, равны: - \(BD = \frac{cx}{c + b}\) - \(DC = \frac{bx}{c + b}\) - \(CE = \frac{ay}{a + c}\) - \(EA = \frac{cy}{a + c}\) - \(AF = \frac{bz}{b + a}\) - \(FB = \frac{az}{b + a}\)