Question

Четырехугольник KLMN вписан в окружность. Диагонали четырех угольника КМ и LN перпендикулярны. Найдите расстояние от цен тра окружности до стороны KN, если LM=4.

Answer 1

Мне понравился мой рисунок, так что я, пожалуй, сделаю исключение для этой задачки.
Пусть O - центр окружности, а Т - середина KN, и PT пересекает LM в точке E. Так как треугольник KPT равнобедренный, есть такая "цепочка" равных углов ∠PLM = ∠PKN = ∠KPT = ∠EPM; откуда ясно, что в треугольнике LMP PE - высота.
То есть - другими словами - получилось, что если через точку P пересечения диагоналей провести прямую перпендикулярно LM, то она пройдет через середину KN - точку T;
Точно так же через точку P можно провести прямую перпендикулярно KN, и она пройдет через середину LM - точку Q.
Легко видеть, что OQPT - параллелограмм. Так как OQ тоже перпендикулярно LM, а OT перпендикулярно KN.
То есть OQ II PT; OT II PQ;
Следовательно OT = PQ = LN/2; (PQ - медиана прямоугольного треугольника LMQ)

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. У нас есть вписанный четырехугольник \(KLMN\), где диагонали \(KM\) и \(LN\) перпендикулярны. При этом известно, что \(LM = 4\).

Для решения задачи воспользуемся тем, что в окружности, вписанной в четырехугольник, диагонали, проведенные из вершин к центру окружности, делятся пополам.

Таким образом, отметим центр окружности \(O\) и соединим его с вершинами четырехугольника: \(OK\), \(OL\), \(OM\), и \(ON\). Так как \(KM\) и \(LN\) перпендикулярны, то они будут проходить через центр окружности \(O\).

Теперь у нас получится четыре прямоугольных треугольника: \(KOM\), \(KON\), \(LOK\), и \(LON\). Рассмотрим, например, треугольник \(KOM\). Поскольку \(KM\) - это диагональ четырехугольника, то \(OK\) будет радиусом вписанной окружности, деленным на 2. То есть, \(OK = \frac{r}{2}\), где \(r\) - радиус окружности.

Теперь, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике \(KOM\):

\[ KM^2 = KO^2 + OM^2 \]

Подставим значение для \(KM\) и \(OK\):

\[ 4^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2 + OM^2 \]

Решив это уравнение, найдем значение \(OM\).

Так как \(KM\) и \(LN\) перпендикулярны и проходят через центр окружности, то расстояние от центра до стороны \(KN\) равно половине длины диаметра окружности. Таким образом, расстояние от центра до стороны \(KN\) равно \(\frac{r}{2}\).

Таким образом, мы находим расстояние от центра окружности до стороны \(KN\).