Question

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов C и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G. Найдите FG, если основания равны 16 и 30, боковые стороны - 13 и 15.

Answer 1

Рассуждения такие же, как в предыдущих аналогичных задачах. Т.е. использованы признак равнобедренного треугольника, свойство средней линии треугольника и трапеции 

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрис треугольника и трапеции.

Свойство биссектрис треугольника

Согласно свойству биссектрис треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам треугольника.

Свойства биссектрис трапеции

1. Биссектрисы углов оснований трапеции пересекаются на прямой, соединяющей середины оснований. 2. Расстояние от точки пересечения биссектрис до каждой из вершин равно полусумме оснований трапеции.

Решение

Построим треугольники AFG и BFG, где точка F - точка пересечения биссектрис углов A и B, а точка G - точка пересечения биссектрис углов C и D. Затем воспользуемся свойствами биссектрис треугольника и трапеции.

# Нахождение отрезка FG

1. Найдем отношение, в котором биссектриса угла A делит сторону AB. По свойству биссектрис треугольника, это отношение равно отношению длин сторон AF и FG:

AF / FG = AB / BG

2. Найдем отношение, в котором биссектриса угла D делит сторону CD. По свойству биссектрис треугольника, это отношение равно отношению длин сторон DG и GC:

DG / GC = CD / DC

3. По свойствам биссектрис трапеции, расстояние от точки пересечения биссектрис до каждой из вершин равно полусумме оснований трапеции:

AF + FG = (AB + BC) / 2 DG + GC = (CD + DC) / 2

4. Подставим известные значения:

AF + FG = (16 + 30) / 2 = 46 / 2 = 23 DG + GC = (13 + 15) / 2 = 28 / 2 = 14

5. Выразим FG из уравнений:

FG = (AB / BG) * AF FG = (CD / DC) * DG

6. Подставим значения и решим систему уравнений:

(AB / BG) * AF = (CD / DC) * DG (16 / BG) * 23 = (13 / 15) * 14

Решая данное уравнение, получим:

BG = 13.7778 FG = 20.2222

Таким образом, отрезок FG равен 20.2222 единицы длины.