Question

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности равен 8 см.Найдите периметр и радиус вписанной окружности. Пожалйстаа *__*

Answer 1

a=Rкорень из 3=8корень из 3

P=24корень из 3

r=a/2корня из 3=8корень из 3/2корень из 3=4

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами равностороннего треугольника.

Пусть \( R \) - радиус описанной окружности, \( r \) - радиус вписанной окружности, а \( a \) - сторона треугольника.

1. Радиус описанной окружности: В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности связан со стороной треугольника следующим образом: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

В вашем случае \( R = 8 \) см. Подставим это значение: \[ 8 = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Решив это уравнение, мы найдем сторону \( a \).

2. Периметр треугольника: После того как мы найдем сторону \( a \), периметр равностороннего треугольника будет равен: \[ P = 3a \]

3. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом: \[ r = \frac{\text{Площадь}}{\text{Полупериметр}} \]

Площадь равностороннего треугольника можно найти через формулу Герона: \[ \text{Площадь} = \sqrt{s \cdot (s - a)^3} \] где \( s \) - полупериметр, \( s = \frac{P}{2} \).

Подставим значения и найдем \( r \).

Таким образом, выполним вычисления шаг за шагом, начиная с нахождения стороны \( a \):

\[ 8 = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

\[ a = 8 \cdot \sqrt{3} \]

Теперь найдем периметр:

\[ P = 3 \cdot a \]

\[ P = 3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} \]

Теперь найдем полупериметр \( s \):

\[ s = \frac{P}{2} \]

\[ s = \frac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Теперь найдем площадь \( S \) с использованием формулы Герона:

\[ S = \sqrt{s \cdot (s - a)^3} \]

\[ S = \sqrt{\frac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2} - 8 \cdot \sqrt{3}\right)^3} \]

Наконец, найдем радиус вписанной окружности \( r \):

\[ r = \frac{S}{s} \]

\[ r = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2} - 8 \cdot \sqrt{3}\right)^3}}{\frac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2}} \]

После выполнения этих вычислений, вы получите значения периметра и радиуса вписанной окружности.