Question

На двух смежных сторонах AB и BC параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники ABE, BCF. Найдите площадь треугольника DEF, если AB=1 см, BC=корень из 2 см, угол ABC=105°.

Answer 1

Все решение сводится к теореме косинуса.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и равносторонних треугольников.

Обозначим точки следующим образом: - \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) - вершины параллелограмма \( ABCD \); - \( E \) и \( F \) - вершины равносторонних треугольников \( ABE \) и \( BCF \) соответственно.

Из условия задачи известно, что \( AB = 1 \) см и \( BC = \sqrt{2} \) см. Также, угол \( ABC \) равен \( 105^\circ \).

Так как \( AB \parallel CD \), то \( \angle ABC = \angle CDA \). Также, так как \( AD \parallel BC \), то угол \( ADC \) также равен \( 105^\circ \).

Теперь обратим внимание на равносторонние треугольники \( ABE \) и \( BCF \). Из их определения следует, что углы \( \angle ABE \) и \( \angle BCF \) равны \( 60^\circ \).

Таким образом, у нас есть три угла в треугольнике \( DAE \): \( \angle CDA = 105^\circ \), \( \angle ADB = \angle ABE = 60^\circ \). Зная, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), мы можем найти угол \( \angle AED \):

\[ \angle AED = 180^\circ - \angle CDA - \angle ADB = 180^\circ - 105^\circ - 60^\circ = 15^\circ \]

Теперь у нас есть два угла треугольника \( DAE \): \( \angle AED = 15^\circ \) и \( \angle EAD = \angle BCF = 60^\circ \). Следовательно, треугольник \( DAE \) - разносторонний.

Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти сторону \( DE \):

\[ \frac{DE}{\sin \angle BCF} = \frac{AE}{\sin \angle AED} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{DE}{\sin 60^\circ} = \frac{AE}{\sin 15^\circ} \]

Теперь найдем отношение сторон \( AE \) и \( DE \):

\[ \frac{AE}{DE} = \frac{\sin 15^\circ}{\sin 60^\circ} \]

Теперь можем использовать это отношение, чтобы найти сторону \( DE \):

\[ DE = AE \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 15^\circ} \]

Так как треугольник \( ABE \) равносторонний, то \( AE = AB = 1 \) см.

Теперь подставим значения:

\[ DE = 1 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 15^\circ} \]

Вычислим числитель и знаменатель:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставим значения:

\[ DE = 1 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} \]

Упростим выражение:

\[ DE = 1 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]

Теперь домножим числитель и знаменатель на сопряженные значения:

\[ DE = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \]

Упростим дальше:

\[ DE = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} \]

\[ DE = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \]

Теперь у нас есть значение стороны \( DE \). Теперь мы можем найти площадь треугольника \( DEF \).

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot AE \cdot \sin \angle AED \]

Подставим значения:

\[ S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \cdot 1 \cdot \sin 15^\circ \]

Упростим:

\[ S_{DEF} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \sin 15^\circ \]

\[ S_{DEF} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

\[ S_{DEF} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} \]

\[ S_{DEF} = \frac{\sqrt{3}(6 - 2)}{16} \]

\[ S_{DEF} = \frac{4\sqrt{3}}{16} \]

\[ S_{DEF} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]

Таким образом, площадь треугольника \( DEF \) равна \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) квадратных сантиметра.