Question

Треугольник MNP- - правильный, его сторона равна 12 см. Найдите радиус OA вписанной окружности.

Answer 1

В правильном тр-ке радиус вписанной окружности рассчитывается по формуле r=(a√3)/6, где а - сторона тр-ка.
r=(12√3)/6=2√3см.

Answer 2

Для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный треугольник MNP, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает радиус вписанной окружности с площадью треугольника и его полупериметром.

Площадь равностороннего треугольника можно найти, используя формулу Герона: \[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

Для равностороннего треугольника все стороны равны между собой, и мы можем обозначить длину стороны как \( a \). Тогда полупериметр \( p \) будет равен: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

Для равностороннего треугольника \( a = b = c \), поэтому: \[ p = \frac{3a}{2} \]

Теперь мы можем использовать формулу для площади Герона и равностороннего треугольника: \[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

\[ S = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} \]

\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

Теперь, у нас есть площадь треугольника. Связь между радиусом вписанной окружности (\( R \)), площадью (\( S \)), и полупериметром (\( p \)) треугольника задается формулой: \[ S = p \cdot R \]

Таким образом, \[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a}{2} \cdot R \]

Теперь можем решить уравнение относительно \( R \): \[ R = \frac{a \sqrt{3}}{4} \]

У нас дано, что длина стороны равностороннего треугольника \( a \) равна 12 см, поэтому: \[ R = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника MNP равен \( 3\sqrt{3} \) см.