Question

В правильной треугольной пирамиде SABC М - середина ребра АВ, S - вершина. Известно, что SМ = 12, а площадь боковой поверхности равна 108. Найдите длину отрезка BC.

Answer 1

Площадь боковой поверхности равна 108. Чтобы найти площать грани ASB мы 108 делим на 3. Получаем 36. 
ASB - это треугольник, SM - его высота. 
S ASB = 1/2* AB* SM. 
Значит AB = 2 S ASB / SM
AB = 2* 36 / 12 =6
Пирамида правильная, а значит в её основании правильный треугольник, где все стороны равны. Тогда BC= AB= 6 .
Ответ: 6

Answer 2

Давайте начнем с того, что "правильная треугольная пирамида" означает, что у нее основание - равносторонний треугольник, а высота падает перпендикулярно к этой плоскости основания из вершины пирамиды.

Так как в пирамиде \( SABC \) \( M \) - середина ребра \( AB \), это означает, что \( SM \) - высота пирамиды (высота, опущенная из вершины \( S \) на основание \( ABC \)).

Теперь у нас есть информация, что \( SM = 12 \) и площадь боковой поверхности равна \( 108 \). Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно выразить формулой:

\[ \text{Площадь боковой поверхности} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота} \]

Для равностороннего треугольника \( ABC \) мы знаем, что площадь его боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) равна \( 108 \). Равносторонний треугольник имеет формулу для площади:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

где \( a \) - длина стороны треугольника. Таким образом, площадь боковой поверхности:

\[ 108 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

Решив это уравнение, мы можем найти длину стороны \( a \) основания.

\[ a^2 = \frac{108 \times 4}{\sqrt{3}} \] \[ a^2 = 432 \times \frac{4}{\sqrt{3}} \] \[ a^2 = 576 \times \sqrt{3} \] \[ a = \sqrt{576 \times \sqrt{3}} \] \[ a = 24 \sqrt{3} \]

Теперь у нас есть длина стороны основания треугольной пирамиды \( ABC \). Так как \( M \) - середина ребра \( AB \), то длина отрезка \( BM \) равна половине длины стороны основания:

\[ BM = \frac{a}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \]

Таким образом, длина отрезка \( BC \) равна удвоенной длине отрезка \( BM \):

\[ BC = 2 \times BM = 2 \times 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \]

Answer 3

Пусть h - высота треугольной пирамиды SABC, BC - длина отрезка BC.

Так как М - середина ребра АВ, то треугольники SМС и SМВ равнобедренные.

Поэтому, SМ = МС = МВ.

Также, треугольник SМС прямоугольный, поскольку С - середина гипотенузы ВС прямоугольного треугольника SВС.

Таким образом, треугольник SМС - прямоугольный равнобедренный треугольник.

Известно, что SМ = 12 и площадь боковой поверхности равна 108.

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды равна сумме площадей боковых поверхностей боковых треугольников.

Площадь боковой поверхности треугольника SМС равна (1/2) * SМ * СМ = (1/2) * 12 * СМ.

Площадь боковой поверхности треугольника SМВ равна (1/2) * SМ * MV = (1/2) * 12 * СМ.

Так как площадь боковой поверхности равна 108, то получаем уравнение:

(1/2) * 12 * СМ + (1/2) * 12 * СМ = 108.

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

12 * СМ + 12 * СМ = 216.

24 * СМ = 216.

СМ = 216 / 24.

СМ = 9.

Таким образом, длина отрезка BC равна 2 * СМ = 2 * 9 = 18.