Question

Основание равнобедренного треугольника равна 18 см, а боковая сторона равна 15 см, найдите радиусы вписанной в треугольник и описанный около треугольника окружностей

Answer 1

Пусть  AB = 18 см ;CA=CB =15 см. 
------------------------------------------
r==>? ; R==>?
r =S/p  где  p - полупериметр треугольника: p= (a + b + c)/2.
R=a*b*c/4S.
Проведем высоту  из вершины C:   CH ┴  AB ; H∈[AB] ; AH =BH=AB/2 =18 см/2 =9 см.   
Из ΔCHA   по теореме Пифагора  : CH =√(AC² -AH²) =√(15² -9²) =12 (см) .  
* * *  AH =3 *3 ; CH =3 *4 ; CA =3 *5 * * *
S =1/2*AB*CH =AH*CH =9*12 =108  (см²);
r =S/p =108/(15+15+18)/2) =108/(15+9) =108/24 =9*12/2*12 =9/2 =4 1/2 , иначе 4, 5 (см)
R =15*15*18/(4*108) = 15*15*2*9/(4*12*9)=75/8 =9 3/8 ,  иначе  9,375 (см) .
ответ  : 4, 5 см   9,375 см .
************************************************************************
Вычисление площади можно было сразу по формуле Герона :
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√24*(24 -15)(24-15)(24 -18) =√4*6*9*9*6 =2*6*9 =108 , а
для  r и R не использовать готовые формулы как выше  ,но....

Answer 2

Для решения данной задачи о найдении радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника, мы можем использовать следующие формулы и свойства:

1. Формула для радиуса вписанной окружности: r = A / (s - a), где r - радиус вписанной окружности, A - площадь треугольника, s - полупериметр треугольника, a - длина одной из сторон треугольника.

2. Формула для радиуса описанной окружности: R = a / (2 * sin(A)), где R - радиус описанной окружности, a - длина одной из сторон треугольника, A - угол при основании треугольника.

Дано, что основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Чтобы найти площадь треугольника и полупериметр, мы можем использовать следующие формулы:

1. Площадь треугольника: A = (b * h) / 2, где A - площадь треугольника, b - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

2. Высота равнобедренного треугольника: h = sqrt(l^2 - (b/2)^2), где h - высота треугольника, l - длина боковой стороны треугольника, b - длина основания треугольника.

Давайте вычислим все значения:

Длина боковой стороны треугольника (l) = 15 см Длина основания треугольника (b) = 18 см

1. Высота треугольника (h): h = sqrt(l^2 - (b/2)^2) h = sqrt(15^2 - (18/2)^2) h = sqrt(225 - 81) h = sqrt(144) h = 12 см

2. Площадь треугольника (A): A = (b * h) / 2 A = (18 * 12) / 2 A = 216 / 2 A = 108 см^2

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника и длины сторон, мы можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

1. Радиус вписанной окружности (r): r = A / (s - a) Мы знаем, что треугольник равнобедренный, поэтому две стороны равны (l). r = 108 / (15 + 15 - 18) r = 108 / 12 r = 9 см

2. Радиус описанной окружности (R): R = a / (2 * sin(A)) Мы знаем, что угол при основании треугольника равен 60 градусов (равносторонний треугольник), поэтому sin(A) = sin(60) = sqrt(3) / 2. R = 18 / (2 * (sqrt(3) / 2)) R = 18 / sqrt(3) R = (18 * sqrt(3)) / 3 R = 6 * sqrt(3) см

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 9 см, а радиус описанной окружности равен 6 * sqrt(3) см.