Question

Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 2 см, образующая наклонена к основанию под углом в 60 градусов. Найти площадь боковой поверхности конуса

Answer 1

Что представляет собой боковая поверхность?Это трапеция.Длины окружностей двух оснований усеченного конуса-длины оснований трапеции.Образующая-высота.

Итого.Два основания трапеции вычисляются по формуле 2PiR.Значит,первое основание-4Pi,а второе-8Pi.

Рассмотрим прямоугольний треугольник,у которого образующая-гипотенуза,разность радиусов-один из катетов.Так как один из углов 60 градусов,то другой 30.А в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит сторона,равная половине гипотенузы.Этот катет равен 4-2=2.Гипотенуза тогда равна 2*2=4.

Площадь трапеции=полусумма оснований *высоту.

(8Pi+4Pi)/2*4=24Pi.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами усеченного конуса. Пусть \(R\) и \(r\) - радиусы большего и меньшего оснований соответственно, \(l\) - образующая, \(h\) - высота, \(s\) - площадь боковой поверхности.

В данной задаче у нас \(R = 4\) см и \(r = 2\) см. Образующая \(l\) и высота \(h\) связаны следующим образом с углом \(\alpha\), под которым образующая наклонена к основанию:

\[l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}\]

Также, у нас дано, что \(\alpha = 60^\circ\). Мы можем использовать это для нахождения высоты \(h\):

\[h = l \sin(\alpha)\]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности \(s\). Площадь боковой поверхности конуса можно выразить формулой:

\[s = \pi \cdot (R + r) \cdot l\]

Теперь подставим известные значения и решим задачу:

1. Найдем образующую \(l\):

\[l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}\]

\[l = \sqrt{(l \sin(\alpha))^2 + (R - r)^2}\]

\[l = \sqrt{l^2 \sin^2(\alpha) + (R - r)^2}\]

\[l^2 = l^2 \sin^2(\alpha) + (R - r)^2\]

\[l^2 (1 - \sin^2(\alpha)) = (R - r)^2\]

\[l^2 \cos^2(\alpha) = (R - r)^2\]

\[l = \frac{R - r}{\cos(\alpha)}\]

2. Теперь, найдем высоту \(h\):

\[h = l \sin(\alpha)\]

\[h = \frac{R - r}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)\]

\[h = (R - r) \tan(\alpha)\]

\[h = (4 - 2) \tan(60^\circ)\]

\[h = 2 \sqrt{3}\]

3. Теперь, найдем площадь боковой поверхности \(s\):

\[s = \pi \cdot (R + r) \cdot l\]

\[s = \pi \cdot (4 + 2) \cdot \frac{R - r}{\cos(\alpha)}\]

\[s = \pi \cdot 6 \cdot \frac{2}{\frac{1}{2}}\]

\[s = 12 \pi\]

Итак, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна \(12 \pi\) квадратных сантиметров.