Question

НА стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD=CE. Докажите, что если BD=BE ,то AB=BC

Answer 1

Что бы доказать, что ВД=ВЕ докажем, что треугольник АВД=треугольнику ЕВС.
Если АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный => угол А=углуС (углы равнобедренного треугольника при основании  равны)
треугольник АВД=треугольнику ЕВС по I признаку (АД=ДС по условию, уголА=углуС, АВ=ВС по условию)
Следовательно, ВД=ВЕ.

Answer 2

Для доказательства утверждения, что если \( BD = BE \), то \( AB = BC \), давайте рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( BEC \). У нас есть информация, что \( AD = CE \) и \( BD = BE \).

Из условия \( AD = CE \) следует, что у треугольников \( ABD \) и \( BEC \) равны соответствующие стороны \( AD \) и \( CE \).

Теперь допустим, что \( BD = BE \). Так как стороны \( AD \) и \( CE \) равны, а стороны \( BD \) и \( BE \) также равны, то у нас есть две равные стороны и общая сторона между ними (\( AD = CE \) и \( BD = BE \)).

По условию равенства треугольников по стороне-углу-стороне (СУС) мы можем сказать, что треугольники \( ABD \) и \( BEC \) равны.

Таким образом, у нас есть:

1. \( AD = CE \) 2. \( BD = BE \) 3. \(\angle ABD = \angle BEC \) (из равенства треугольников)

Теперь рассмотрим треугольники \( ABC \), \( ABD \) и \( BEC \). Мы знаем, что угол \( \angle ABC \) равен сумме углов \( \angle ABD \) и \( \angle BEC \), так как треугольники \( ABC \), \( ABD \) и \( BEC \) лежат на одной прямой.

Таким образом:

\[ \angle ABC = \angle ABD + \angle BEC \]

Так как \( \angle ABD = \angle BEC \), мы можем записать:

\[ \angle ABC = \angle ABD + \angle ABD \]

\[ \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD \]

Теперь давайте рассмотрим треугольник \( ABC \). Если \( BD = BE \) и угол \( \angle ABC \) удвоенный угол \( \angle ABD \), то мы можем воспользоваться теоремой углового дублирования и сказать, что \( AB = BC \).

Таким образом, мы доказали, что если \( BD = BE \), то \( AB = BC \).