Question

Найдите объем V тела, которое образуется при вращании ромба со стороной 1 и острым углом 60 около меньшей диагонали.

Answer 1

Тело, полученное при вращении ромба около меньшей диагонали состоит из двух одинаковых конусов, см во вложении, У меня получился ответ П/4. Удачи!

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема тела вращения:

V = π * ∫(от a до b) [f(x)]^2 dx,

где f(x) - функция, задающая границы тела вращения, a и b - пределы интегрирования.

В данном случае, ромб с острой углом 60 градусов будет иметь следующие координаты вершин:

A(0, 0), B(1, 0), C(1/2, √3/2), D(1/2, -√3/2).

Меньшая диагональ ромба будет проходить через точки C и D. Поскольку мы вращаем ромб вокруг меньшей диагонали, функция f(x) будет представлять собой график отрезка между точками C и D.

Таким образом, f(x) = √3/2 * (x - 1/2).

Интегрируя это выражение от x = 0 до x = 1, мы найдем объем тела:

V = π * ∫(от 0 до 1) [√3/2 * (x - 1/2)]^2 dx = π * ∫(от 0 до 1) 3/4 * (x - 1/2)^2 dx = π * [1/4 * (x - 1/2)^3] (от 0 до 1) = π * [1/4 * (1 - 1/2)^3 - 1/4 * (0 - 1/2)^3] = π * [1/4 * (1/2)^3 - 1/4 * (-1/2)^3] = π * [1/4 * 1/8 - 1/4 * (-1/8)] = π * [1/32 + 1/32] = π/16.

Таким образом, объем тела, образованного вращением ромба с острой углом 60 градусов около меньшей диагонали, равен π/16.